10. Sınıf İki Kategorik Değişkenin İlişkisi ve İstatistiksel Problem Oluşturma

Bir araştırmacı, 200 kişilik bir örneklemde bireylerin sigara içme durumu (içen/içmeyen) ile akciğer hastalığı (var/yok) arasındaki ilişkiyi incelemektedir. Aşağıdaki tablo gözlenen frekansları göstermektedir:

Bu iki kategorik değişken arasında bir ilişki olup olmadığını belirlemek için Ki-Kare Bağımsızlık Testi yapınız. (\(\alpha = 0.05\))

💡 Ki-Kare Bağımsızlık Testi adımlarını takip edeceğiz.

• ➡️ 1. Adım: Hipotezleri Kur
  \(H_0\): Sigara içme durumu ile akciğer hastalığı arasında ilişki yoktur (bağımsızdır).
  \(H_1\): Sigara içme durumu ile akciğer hastalığı arasında ilişki vardır (bağımlıdır).
• ➡️ 2. Adım: Beklenen Frekansları Hesapla
  Beklenen frekans formülü: \(E_{ij} = \frac{(Satır\ Toplamı_i) \times (Sütun\ Toplamı_j)}{Genel\ Toplam}\)
  Sigara İçen & Hastalık Var: \(E_{11} = \frac{100 \times 65}{200} = 32.5\)
  Sigara İçen & Hastalık Yok: \(E_{12} = \frac{100 \times 135}{200} = 67.5\)
  Sigara İçmeyen & Hastalık Var: \(E_{21} = \frac{100 \times 65}{200} = 32.5\)
  Sigara İçmeyen & Hastalık Yok: \(E_{22} = \frac{100 \times 135}{200} = 67.5\)
• ➡️ 3. Adım: Ki-Kare İstatistiğini Hesapla
  Formül: \(\chi^2 = \sum \frac{(O_{ij} - E_{ij})^2}{E_{ij}}\)
  \(\chi^2 = \frac{(45-32.5)^2}{32.5} + \frac{(55-67.5)^2}{67.5} + \frac{(20-32.5)^2}{32.5} + \frac{(80-67.5)^2}{67.5}\)
  \(\chi^2 = \frac{(12.5)^2}{32.5} + \frac{(-12.5)^2}{67.5} + \frac{(-12.5)^2}{32.5} + \frac{(12.5)^2}{67.5}\)
  \(\chi^2 \approx 4.81 + 2.31 + 4.81 + 2.31 = 14.24\)
• ➡️ 4. Adım: Serbestlik Derecesi ve Kritik Değer
  Serbestlik Derecesi: \(df = (satır\ sayısı - 1) \times (sütun\ sayısı - 1) = (2-1) \times (2-1) = 1\)
  \(\alpha = 0.05\) için kritik Ki-Kare değeri: \(\chi^2_{0.05, 1} = 3.841\)
• ➡️ 5. Adım: Karar Ver
  Hesaplanan \(\chi^2 = 14.24\) > Kritik Değer \(3.841\) olduğundan, \(H_0\) hipotezi reddedilir.

✅ Sonuç: Sigara içme durumu ile akciğer hastalığı arasında istatistiksel olarak anlamlı bir ilişki vardır (\(p < 0.05\)).