Soru:
Bir okulda öğrencilerin çalışma saati (az/orta/çok) ile sınav başarısı (düşük/orta/yüksek) arasındaki ilişki araştırılıyor. 150 öğrenciden toplanan verilerle aşağıdaki gözlenen frekans tablosu oluşturulmuştur:
| Düşük Başarı | Orta Başarı | Yüksek Başarı | Toplam |
|---|
| Az Çalışma | 20 | 10 | 5 | 35 |
| Orta Çalışma | 15 | 25 | 15 | 55 |
| Çok Çalışma | 5 | 15 | 40 | 60 |
| Toplam | 40 | 50 | 60 | 150 |
Bu iki kategorik değişken arasında anlamlı bir ilişki olup olmadığını Ki-Kare Testi ile araştırınız. (\(\alpha = 0.05\))
Çözüm:
💡 3x3 bir tablo için Ki-Kare Testi uygulayacağız.
- ➡️ 1. Adım: Hipotezleri Kur
\(H_0\): Çalışma saati ile sınav başarısı arasında ilişki yoktur.
\(H_1\): Çalışma saati ile sınav başarısı arasında ilişki vardır.
- ➡️ 2. Adım: Beklenen Frekansları Hesapla
\(E_{ij} = \frac{(Satır\ Toplamı_i) \times (Sütun\ Toplamı_j)}{Genel\ Toplam}\)
Örnek Hesaplamalar:
Az Çalışma & Düşük Başarı: \(E_{11} = \frac{35 \times 40}{150} \approx 9.33\)
Orta Çalışma & Orta Başarı: \(E_{22} = \frac{55 \times 50}{150} \approx 18.33\)
Çok Çalışma & Yüksek Başarı: \(E_{33} = \frac{60 \times 60}{150} = 24\)
- ➡️ 3. Adım: Ki-Kare İstatistiğini Hesapla
\(\chi^2 = \sum \frac{(O_{ij} - E_{ij})^2}{E_{ij}}\)
Hesaplamalar sonucunda (tüm hücreler için hesaplanırsa) \(\chi^2 \approx 52.94\) bulunur.
- ➡️ 4. Adım: Serbestlik Derecesi ve Kritik Değer
\(df = (3-1) \times (3-1) = 4\)
\(\alpha = 0.05\) için kritik Ki-Kare değeri: \(\chi^2_{0.05, 4} = 9.488\)
- ➡️ 5. Adım: Karar Ver
Hesaplanan \(\chi^2 \approx 52.94\) > Kritik Değer \(9.488\) olduğundan, \(H_0\) hipotezi reddedilir.
✅ Sonuç: Çalışma saati ile sınav başarısı arasında istatistiksel olarak anlamlı bir ilişki vardır (\(p < 0.05\)).
