Soru:
\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) olmak üzere, \( f(x) = -x^2 + 4x + 1 \) fonksiyonunun maksimum noktasını bulunuz.
Çözüm:
💡 İkinci dereceden bir fonksiyonun tepe noktası (maksimum veya minimum), türevinin sıfır olduğu noktada ve katsayısının işaretine göre belirlenir.
- ➡️ Birinci türevi alıp sıfıra eşitleyelim: \( f'(x) = -2x + 4 = 0 \).
- ➡️ Denklemi çözelim: \( -2x + 4 = 0 \implies x = 2 \).
- ➡️ İkinci türeve bakalım: \( f''(x) = -2 \). \( f''(2) = -2 < 0 \) olduğu için bu nokta bir maksimum noktasıdır.
- ➡️ Maksimum noktanın y koordinatını bulmak için \( x=2 \)'yi fonksiyonda yerine koyalım: \( f(2) = -(2)^2 + 4(2) + 1 = -4 + 8 + 1 = 5 \).
✅ Fonksiyonun maksimum noktası \( (2, 5) \)'tir.
