Soru:
\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) olmak üzere, \( f(x) = x^3 - 3x \) fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarını ve büküm (dönüm) noktasını bulunuz.
Çözüm:
💡 Yerel ekstremum noktaları için birinci türev, büküm noktası için ikinci türev kullanılır.
- ➡️ Yerel Ekstremumlar: \( f'(x) = 3x^2 - 3 \). Bunu sıfıra eşitleyelim: \( 3x^2 - 3 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = -1 \) ve \( x = 1 \).
- ➡️ İşaret tablosu veya ikinci türev testi yapalım. \( f''(x) = 6x \).
- \( x = -1 \) için \( f''(-1) = -6 < 0 \) → Yerel Maksimum. \( f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) = -1 + 3 = 2 \). Nokta: \( (-1, 2) \).
- \( x = 1 \) için \( f''(1) = 6 > 0 \) → Yerel Minimum. \( f(1) = (1)^3 - 3(1) = 1 - 3 = -2 \). Nokta: \( (1, -2) \).
- ➡️ Büküm Noktası: \( f''(x) = 6x = 0 \implies x = 0 \). \( f(0) = 0 \). İkinci türev \( x=0 \) noktasında işaret değiştirdiği için \( (0, 0) \) bir büküm noktasıdır.
✅ Yerel Maksimum: \( (-1, 2) \), Yerel Minimum: \( (1, -2) \), Büküm Noktası: \( (0, 0) \).
