Soru:
\( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) olmak üzere, \( f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2} \) fonksiyonunun süreksiz olduğu noktayı belirleyiniz ve bu süreksizliğin türünü yazınız.
Çözüm:
💡 Bir rasyonel fonksiyon, paydasını sıfır yapan noktalarda tanımsızdır ve bu noktalarda süreksizlik vardır.
- ➡️ Paydayı sıfır yapan \( x \) değerini bulalım: \( x - 2 = 0 \implies x = 2 \). Fonksiyon \( x=2 \) noktasında tanımsızdır.
- ➡️ Fonksiyonu sadeleştirelim: \( f(x) = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} \). \( x \neq 2 \) için bu ifade \( f(x) = x + 2 \)'ye eşittir.
- ➡️ \( x \) değişkeni 2'ye yaklaşırken fonksiyonun limitine bakalım: \( \lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} (x + 2) = 4 \).
- ➡️ Limit var ve sonlu bir sayıya eşit (4), ancak fonksiyon bu noktada tanımlı değil (\( f(2) \) yok).
✅ Bu durum, kaldırılabilir süreksizlik (veya nokta süreksizliği) olarak adlandırılır. Süreksizlik noktası \( x = 2 \)'dir.
