Tümevarım yöntemi ile ispat Test 1 Cevapları

n pozitif tam sayı olmak üzere, \(1 + 3 + 5 + \dots + (2n-1) = n^2\) önermesinin tümevarım yöntemiyle ispatında, tümevarım adımında aşağıdaki eşitliklerden hangisi kullanılır?

A) \(k^2 + (2k+1) = (k+1)^2\)
B) \(k^2 + (2k-1) = (k+1)^2\)
C) \(k^2 + 2k = (k+1)^2\)
D) \(k^2 + k = (k+1)^2\)

\(n \geq 1\) için \(1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\) önermesinin doğru olduğunu tümevarımla ispatlamak isteyen bir öğrenci, tümevarım adımında aşağıdaki işlemlerden hangisini yapmalıdır?

A) \(\frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + (k+1)^2\) ifadesini hesaplamalı
B) \(\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}\) ifadesini hesaplamalı
C) \(\frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + k^2\) ifadesini hesaplamalı
D) \(\frac{(k+1)(k+2)(2k+1)}{6}\) ifadesini hesaplamalı

Tümevarım yöntemiyle ispat yapılırken ilk adımda P(1) önermesinin doğruluğu gösterilir. \(n \geq 4\) için \(2^n > n^2\) önermesini ispatlamak isteyen biri ilk adımda hangi n değeri için kontrol etmelidir?

A) n=1
B) n=2
C) n=3
D) n=4

Bir matematik öğrencisi, \(n \geq 1\) için \(3^{2n} - 1\) ifadesinin 8 ile tam bölündüğünü tümevarımla ispatlamak istiyor. Tümevarım adımında, \(3^{2k} - 1 = 8m\) (m tam sayı) kabulünden sonra \(3^{2(k+1)} - 1\) ifadesini nasıl düzenlemelidir?

A) \(3^{2k+2} - 1 = 9 \cdot 3^{2k} - 1\)
B) \(3^{2k+2} - 1 = 9(3^{2k} - 1) + 8\)
C) \(3^{2k+2} - 1 = 3^{2k} - 1 + 8\)
D) \(3^{2k+2} - 1 = 8 \cdot 3^{2k} - 1\)

\(n \geq 1\) için \(1 \cdot 2 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 4 + \dots + n(n+1) = \frac{n(n+1)(n+2)}{3}\) önermesinin tümevarımla ispatında, tümevarım adımı tamamlandığında aşağıdaki eşitliklerden hangisi elde edilir?

A) \(\frac{k(k+1)(k+2)}{3} + (k+1)(k+2) = \frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}\)
B) \(\frac{k(k+1)(k+2)}{3} + k(k+1) = \frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}\)
C) \(\frac{k(k+1)(k+2)}{3} + (k+1)^2 = \frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}\)
D) \(\frac{k(k+1)(k+2)}{3} + (k+1) = \frac{(k+1)(k+2)(k+3)}{3}\)

Tümevarım yöntemiyle \(n \geq 1\) için \(4^n + 6n - 1\) ifadesinin 9 ile tam bölündüğünü ispatlamak isteyen biri, tümevarım adımında aşağıdaki işlemlerden hangisini yapmalıdır?

A) \(4^{k+1} + 6(k+1) - 1 = 4(4^k + 6k - 1) - 18k + 9\)
B) \(4^{k+1} + 6(k+1) - 1 = 4(4^k + 6k - 1) + 18k - 9\)
C) \(4^{k+1} + 6(k+1) - 1 = 4(4^k + 6k - 1) - 18k - 3\)
D) \(4^{k+1} + 6(k+1) - 1 = 4(4^k + 6k - 1) + 6\)

\(n \geq 3\) için \(2^n > 2n + 1\) eşitsizliğini tümevarımla ispat eden biri, tümevarım adımında aşağıdaki karşılaştırmalardan hangisini yapmalıdır?

A) \(2^{k+1} = 2 \cdot 2^k > 2(2k+1) = 4k+2\) ile \(2(k+1)+1 = 2k+3\) karşılaştırmalı
B) \(2^{k+1} = 2 \cdot 2^k > 2(2k+1) = 4k+2\) ve \(4k+2 > 2k+3\) göstermeli
C) \(2^{k+1} = 2^k + 2^k > (2k+1) + (2k+1) = 4k+2\) ile \(2k+3\) karşılaştırmalı
D) \(2^{k+1} = 2 \cdot 2^k > 2 \cdot 2k = 4k\) ile \(2k+3\) karşılaştırmalı

\(n \geq 1\) için \(7^n - 2^n\) ifadesinin 5 ile tam bölündüğünü tümevarımla ispatlamak isteyen biri, tümevarım adımında aşağıdaki ifadelerden hangisini kullanırsa ispatı tamamlayabilir?

A) \(7^{k+1} - 2^{k+1} = 7(7^k - 2^k) + 5 \cdot 2^k\)
B) \(7^{k+1} - 2^{k+1} = 7 \cdot 7^k - 2 \cdot 2^k\)
C) \(7^{k+1} - 2^{k+1} = 5(7^k + 2^k)\)
D) \(7^{k+1} - 2^{k+1} = (7-2)(7^k + 2^k)\)

Tümevarım yöntemiyle \(n \geq 1\) için \(1 \cdot 1! + 2 \cdot 2! + 3 \cdot 3! + \dots + n \cdot n! = (n+1)! - 1\) önermesini ispatlamak isteyen biri, tümevarım adımında aşağıdaki işlemlerden hangisini yapmalıdır?

A) \((k+1)! - 1 + (k+1) \cdot (k+1)! = (k+2)! - 1\)
B) \((k+1)! - 1 + k \cdot k! = (k+2)! - 1\)
C) \((k+1)! - 1 + (k+1)! = (k+2)! - 1\)
D) \(k! - 1 + (k+1) \cdot (k+1)! = (k+2)! - 1\)

\(n \geq 1\) için \(1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8} + \dots + (-1)^{n-1} \frac{1}{2^{n-1}} = \frac{2}{3} \left(1 - (-\frac{1}{2})^n \right)\) önermesinin tümevarımla ispatında, tümevarım adımında aşağıdaki işlemlerden hangisi yapılır?

A) \(\frac{2}{3} \left(1 - (-\frac{1}{2})^k \right) + (-1)^k \frac{1}{2^k}\) ifadesi düzenlenir
B) \(\frac{2}{3} \left(1 - (-\frac{1}{2})^k \right) + (-1)^{k+1} \frac{1}{2^{k+1}}\) ifadesi düzenlenir
C) \(\frac{2}{3} \left(1 - (-\frac{1}{2})^k \right) + (-1)^k \frac{1}{2^{k-1}}\) ifadesi düzenlenir
D) \(\frac{2}{3} \left(1 - (-\frac{1}{2})^{k+1} \right) + (-1)^k \frac{1}{2^k}\) ifadesi düzenlenir