Belirsiz integral alma kurallarını kullanarak verilen ifadeyi adım adım integre edelim.
Verilen integral: $\int (3x^2 - 4x + 5) dx$
Adım 1: Toplam ve Fark Kuralını Uygulama
İntegral, toplam ve fark işlemlerine dağılabilir. Bu kurala göre, her terimi ayrı ayrı integre edebiliriz:
$\int (3x^2 - 4x + 5) dx = \int 3x^2 dx - \int 4x dx + \int 5 dx$
Adım 2: Sabit Çarpan Kuralını Uygulama
Bir fonksiyonun sabitle çarpımının integrali, sabit ile fonksiyonun integralinin çarpımına eşittir. Yani, sabit çarpanları integral dışına alabiliriz:
$\int 3x^2 dx = 3 \int x^2 dx$
$\int 4x dx = 4 \int x dx$
$\int 5 dx = 5 \int 1 dx$
İfade şimdi şu şekli alır:
$3 \int x^2 dx - 4 \int x dx + 5 \int 1 dx$
Adım 3: Kuvvet Kuralını Uygulama
Genel kuvvet kuralı $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ şeklindedir (burada $n \neq -1$). Ayrıca, bir sabitin integrali $\int k dx = kx + C$ şeklindedir.
$3 \int x^2 dx = 3 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} + C_1 = 3 \cdot \frac{x^3}{3} + C_1 = x^3 + C_1$
$4 \int x dx = 4 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} + C_2 = 4 \cdot \frac{x^2}{2} + C_2 = 2x^2 + C_2$
$5 \int 1 dx = 5x + C_3$
Adım 4: Sonuçları Birleştirme
Bulduğumuz integralleri birleştirerek ve tüm sabitleri tek bir $C$ sabiti altında toplayarak nihai sonuca ulaşırız:
$(x^3 + C_1) - (2x^2 + C_2) + (5x + C_3)$
$= x^3 - 2x^2 + 5x + (C_1 - C_2 + C_3)$
Buradaki $(C_1 - C_2 + C_3)$ ifadesi yeni bir sabit $C$ olarak yazılabilir.
Dolayısıyla, integralin sonucu:
$\int (3x^2 - 4x + 5) dx = x^3 - 2x^2 + 5x + C$
Doğru seçenek A şıkkıdır.
