10. Sınıf 3 ve 9 ile Bölünebilme

Question

Bu konuda 3 ve 9 ile bölünebilme kurallarını karıştırıyorum. Bir sayının rakamları toplamı 3'ün katı ise o sayı 3'e tam bölünüyor ama 9 için aynı kural geçerli mi? İkisi arasındaki farkı anlamakta zorlanıyorum.

Answer 1

3 ile Bölünebilme Kuralı

Bir doğal sayının 3 ile tam bölünebilmesi için, o sayının rakamlarının toplamının 3'ün katı olması gerekir.

Matematiksel olarak ifade etmek gerekirse, bir \( a \) sayısının rakamları toplamı \( 3k \) (\( k \in \mathbb{Z} \)) ise, \( a \) sayısı 3 ile tam bölünür.

Örnekler:

• 147 sayısını inceleyelim: \( 1 + 4 + 7 = 12 \). 12, 3'ün katıdır (\( 12 \div 3 = 4 \)). Bu yüzden 147, 3 ile tam bölünür.
• 832 sayısını inceleyelim: \( 8 + 3 + 2 = 13 \). 13, 3'ün katı değildir. Bu yüzden 832, 3 ile tam bölünemez.

9 ile Bölünebilme Kuralı

Bir doğal sayının 9 ile tam bölünebilmesi için, o sayının rakamlarının toplamının 9'un katı olması gerekir.

Matematiksel olarak ifade etmek gerekirse, bir \( a \) sayısının rakamları toplamı \( 9k \) (\( k \in \mathbb{Z} \)) ise, \( a \) sayısı 9 ile tam bölünür.

Örnekler:

• 873 sayısını inceleyelim: \( 8 + 7 + 3 = 18 \). 18, 9'un katıdır (\( 18 \div 9 = 2 \)). Bu yüzden 873, 9 ile tam bölünür.
• 645 sayısını inceleyelim: \( 6 + 4 + 5 = 15 \). 15, 9'un katı değildir. Bu yüzden 645, 9 ile tam bölünemez.

Önemli İlişki

9 ile bölünebilme kuralı, 3 ile bölünebilme kuralının daha özel bir halidir. Yani 9'a tam bölünen her sayı, aynı zamanda 3'e de tam bölünür. Ancak, 3'e tam bölünen her sayı, 9'a tam bölünmek zorunda değildir.

Örnek:

• Yukarıdaki örnekte 147 sayısı 3'e bölünür ama 9'a bölünmez (\( 1+4+7=12 \), 12, 9'un katı değil).
• 873 sayısı ise hem 3'e hem de 9'a tam bölünür.

Answer 2

10. Sınıf 3 ve 9 ile Bölünebilme Çözümlü Test Soruları

Soru 1: Bir torbada 1'den 9'a kadar numaralandırılmış toplar bulunmaktadır. Bu torbadan rastgele çekilen bir topun üzerindeki rakam, 6 basamaklı 342A7B sayısında A ve B harflerinin yerine yazılıyor. Çekilen topun üzerindeki rakamın, oluşan bu sayının hem 3 hem de 9 ile tam bölünebilmesini sağlama olasılığı kaçtır?
a) 1/9   b) 2/9   c) 1/3   d) 4/9   e) 5/9
Cevap: a) 1/9
Çözüm: Sayının 9 ile bölünebilmesi için rakamları toplamının 9'un katı olması gerekir. 3+4+2+7=16. A+B toplamı 2 veya 11 olmalıdır. Ancak 9'un katı için 18 veya 27 gerekir. 16+2=18 ve 16+11=27. A ve B rakam olduğundan A+B=11 olabilir (2+9,3+8,4+7,5+6 ve tersleri). 9 durum var. A+B=2 ise (0+2,1+1,2+0) 3 durum. Toplam 12 durum. Torbadan 1 rakam çekiliyor, yani A ve B'den biri sabitleniyor, diğeri de ona bağlı olarak belirleniyor. İstenen koşul için çekilen rakam, A+B=11 için uygun olmalıdır. Örneğin, 2 çekilirse B=9 olmalı (9 torbada var). 9 çekilirse B=2 olmalı (2 var). 1-9 arası her rakam için bir eşleşme vardır. 9 uygun durum. Toplam 9 rakam olduğundan olasılık 9/9=1'dir, ancak seçeneklerde yok. Soruda A ve B için aynı torbadan çekim yapılıyor gibi düşünülmüş. Tek çekimde istenen koşul için çekilen rakamın, diğer rakamla toplamı 11 yapması gerekir. 1 çekilirse 10 gerekir, 10 torbada yok. 2 çekilirse 9 gerekir, 9 var. 3 çekilirse 8 gerekir, 8 var. ... 9 çekilirse 2 gerekir, 2 var. Sadece 5 rakam (2,3,4,5,6,7,8,9) için karşılık var gibi görünür, ancak 1 ve 10? 1 çekilirse 10 gerekir, yok. O halde 2,3,4,5,6,7,8,9 olmak üzere 8 rakam için uygun. 8/9? Seçeneklerde yok. Sorunun orijinalinde A ve B aynı torbadan çekiliyor olabilir. Yeniden düşünelim: Torbadan bir top çekiliyor ve bu rakam hem A hem de B yerine yazılıyor. Yani A=B. O zaman sayı 342A7A olur. Rakamlar toplamı: 3+4+2+A+7+A=16+2A. 9 ile bölünebilmesi için 16+2A=18 veya 27. 16+2A=18 -> 2A=2 -> A=1. 16+2A=27 -> 2A=11 -> A=5.5 (olmaz). Sadece A=1 için hem 3 hem de 9 ile bölünebilir. Torbada 1 rakamı var. Olasılık 1/9.

Soru 2: Dört basamaklı 5A3B sayısının 3 ile bölümünden kalan 2'dir. Buna göre, A'nın alabileceği değerler toplamı kaçtır?
a) 10   b) 15   c) 20   d) 25   e) 30
Cevap: e) 30
Çözüm: Sayının 3 ile bölümünden kalan 2 ise rakamları toplamının 3'e bölümünden kalan