10. Sınıf Bağımsız Olayların Olasılığı Nasıl Hesaplanır?

Question

Bağımlı ve bağımsız olayların farkını tam olarak anlayamıyorum. Özellikle sorularda iki olay verildiğinde, bunların bağımsız olup olmadığını nasıl anlayacağımı karıştırıyorum. Ayrıca formülü kullanarak olasılığı hesaplarken hangi olasılıkları çarpmam gerektiği konusunda bazen kafam karışıyor.

Answer 1

Bağımsız Olayların Olasılığı

İki veya daha fazla olayın gerçekleşmesi birbirini etkilemiyorsa, bu olaylara bağımsız olaylar denir. Bir olayın olma ihtimali, diğer olayın olup olmamasına bağlı değildir.

Bağımsız Olayların Birlikte Olma Olasılığı

İki bağımsız A ve B olayının ikisinin birden gerçekleşme olasılığı, bu olayların ayrı ayrı olasılıklarının çarpımına eşittir.

Bu kuralı formülle ifade edersek:

P(A ve B) = P(A ∩ B) = P(A) × P(B)

Örnek Problem ve Çözümü

Örnek: Bir madeni para ve bir zar aynı anda atılıyor. Paranın tura ve zarın çift sayı gelme olasılığı nedir?

Çözüm:

• Para atışı ve zar atışı birbirini etkilemez. Bu yüzden bu olaylar bağımsızdır.
• Paranın tura gelme olasılığı: P(T) = \( \frac{1}{2} \)
• Zarın çift sayı (2, 4, 6) gelme olasılığı: P(Ç) = \( \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \)
• İkisinin birlikte olma olasılığı: P(T ve Ç) = P(T) × P(Ç) = \( \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \)

İki Olayın Bağımsız Olduğunu Nasıl Anlarız?

Eğer iki olay için P(A ve B) = P(A) × P(B) eşitliği sağlanıyorsa, bu iki olay bağımsızdır. Bu eşitlik sağlanmıyorsa olaylar bağımlıdır (yani birbirini etkiler).

Uyarılar

• Bağımsız olaylarla ayrık olayları karıştırmamak gerekir. Ayrık olaylar aynı anda gerçekleşemezler (örneğin bir zar atışında hem 2 hem de 5 gelmesi). Bağımsız olaylar ise aynı anda gerçekleşebilirler.
• Bu kural ikiden fazla olay için de genişletilebilir. Örneğin üç bağımsız A, B ve C olayının üçünün de gerçekleşme olasılığı: P(A ve B ve C) = P(A) × P(B) × P(C)

Answer 2

10. Sınıf Bağımsız Olayların Olasılığı Çözümlü Test Soruları

Soru 1: Bir madeni para ve bir zar aynı anda atılıyor. Paranın yazı ve zarın asal sayı gelme olasılığı kaçtır?
a) 1/12   b) 1/6   c) 1/4   d) 1/3   e) 1/2
Cevap: C
Çözüm: Para ve zarın atılması bağımsız olaylardır. Paranın yazı gelme olasılığı \( \frac{1}{2} \), zarın asal sayı (2, 3, 5) gelme olasılığı \( \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \)'dir. Bağımsız olayların birlikte gerçekleşme olasılığı, olasılıkların çarpımına eşittir: \( \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \).

Soru 2: Bir kutuda 3 kırmızı, 2 mavi top; bir torbada ise 4 sarı, 1 yeşil top vardır. Kutudan rastgele bir top çekildikten sonra (çekilen top geri konulmadan) torbadan rastgele bir top çekiliyor. Çekilen iki topun da mavi ve yeşil olma olasılığı nedir?
a) 1/25   b) 2/25   c) 1/10   d) 3/25   e) 4/25
Cevap: B
Çözüm: İki olay bağımsız değildir çünkü ilk çekilen top geri konulmamıştır ve bu durum ikinci çekimi etkilemez. Ancak soru, iki farklı torbadan çekim yapıldığı için olaylar birbirini etkilemez, yani bağımsızdır. Kutudan mavi top çekme olasılığı \( \frac{2}{5} \), torbadan yeşil top çekme olasılığı \( \frac{1}{5} \)'tir. Bağımsız olayların çarpımı: \( \frac{2}{5} \times \frac{1}{5} = \frac{2}{25} \).

Soru 3: Bir fabrikada A makinesinin ürettiği bir ürünün bozuk çıkma olasılığı 0.05, B makinesinin ürettiği bir ürünün bozuk çıkma olasılığı ise 0.08'dir. Bu makinelerden rastgele seçilen birer ürünün ikisinin de sağlam olma olasılığı kaçtır?
a) 0.874   b) 0.874   c) 0.874   d) 0.874   e) 0.874
Cevap: A
Çözüm: Olaylar bağımsızdır. A makinesinden sağlam ürün gelme olasılığı \( 1 - 0.05 = 0.95 \), B makinesinden sağlam ürün gelme olasılığı \( 1 - 0.08 = 0.92 \)'dir. İkisinin de sağlam olma olasılığı: \( 0.95 \times 0.92 = 0.874 \).

Soru 4: Hilesiz bir para ardışık olarak 3 kez atılıyor. Bu üç atışın tamamının tura gelme olasılığı nedir?
a) 1/8   b) 1/6   c) 1/4   d) 1/3   e) 1/2
Cevap: A
Çözüm: Her para atışı bir önceki atıştan bağımsızdır. Bir atışta tura gelme olasılığı \( \frac{1}{2} \)'dir. Bağımsız olayların çarpımı ile üçünün de tura gelme olasılığı: \( \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8} \).

Answer 3

Bağımsız Olaylar Nedir?

İki veya daha fazla olayın gerçekleşmesi birbirini etkilemiyorsa, bu olaylara bağımsız olaylar denir. Yani bir olayın sonucu, diğer olayın sonucunu değiştirmiyorsa bu olaylar bağımsızdır.

Bağımsız Olayların Olasılığı Nasıl Hesaplanır?

A ve B gibi iki bağımsız olayın aynı anda gerçekleşme olasılığı, bu olayların ayrı ayrı olasılıklarının çarpımına eşittir.

Matematiksel olarak şu formülle ifade edilir:

P(A ve B) = P(A) × P(B)

Bu formül, "A ve B olaylarının kesişiminin olasılığı" olarak da adlandırılır.

Örneklerle Anlatım

Örnek 1: Bir madeni para ve bir zar aynı anda atılıyor. Paranın yazı ve zarın 4 gelme olasılığı nedir?

• Paranın yazı gelme olasılığı: P(Y) = \( \frac{1}{2} \)
• Zarın 4 gelme olasılığı: P(4) = \( \frac{1}{6} \)
• Bu iki olay birbirinden bağımsızdır çünkü paranın sonucu zarın sonucunu etkilemez.
• P(Y ve 4) = P(Y) × P(4) = \( \frac{1}{2} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{12} \)

Örnek 2: Bir kutuda 3 kırmızı, 2 mavi top vardır. Çekilen top tekrar kutuya atılmak (yerine konmak) şartıyla art arda 2 kırmızı top çekme olasılığı nedir?

• İlk çekişte kırmızı gelme olasılığı: P(K₁) = \( \frac{3}{5} \)
• Top yerine konduğu için ikinci çekişte kırmızı gelme olasılığı: P(K₂) = \( \frac{3}{5} \)
• Bu iki olay bağımsızdır çünkü ilk çekilen top tekrar kutuya atılıyor.
• P(K₁ ve K₂) = P(K₁) × P(K₂) = \( \frac{3}{5} \times \frac{3}{5} = \frac{9}{25} \)

Önemli Noktalar

• İki olayın bağımsız olup olmadığını kontrol etmek çok önemlidir. Olaylar bağımsız değilse bu kuralı kullanamayız.
• Genellikle, "çekilen topun yerine konması", "aynı anda atılan paralar/zarlar" veya "birbirinden etkilenmeyen farklı deneyler" bağımsız olay oluşturur.
• Formül ikiden fazla bağımsız olay için de genişletilebilir: P(A ve B ve C) = P(A) × P(B) × P(C)