10. Sınıf Fonksiyonun Maksimum ve Minimum Değerleri

Question

Bu konuda fonksiyonun en büyük ve en en küçük değerini bulurken nerelere bakmam gerektiğini karıştırıyorum. Türevin sıfır olduğu noktaları bulduktan sonra, bu noktaların maksimum mu minimum mu olduğuna nasıl karar veriyoruz? Ayrıca fonksiyonun uç noktalarını da kontrol etmemiz gerekiyor mu onu tam anlayamadım.

Answer 1

Fonksiyonun Maksimum ve Minimum Değerleri

Bir fonksiyonun grafiğinde, belirli bir aralıkta veya tüm tanım kümesinde ulaşabileceği en büyük değere maksimum değer, en küçük değere ise minimum değer denir. Bu değerlerin bulunduğu noktalara da sırasıyla maksimum nokta ve minimum nokta adı verilir. Bu noktalar genel olarak ekstremum noktalar olarak isimlendirilir.

Maksimum ve Minimum Değerler Nasıl Bulunur?

Bir fonksiyonun maksimum ve minimum değerlerini bulmak için şu adımlar izlenir:

• Fonksiyonun türevi alınır.
• Türevin sıfıra eşitlendiği noktalar (kritik noktalar) bulunur. Yani \( f'(x) = 0 \) denklemi çözülür.
• Bulunan bu \( x \) değerleri, fonksiyonda (\( f(x) \)) yerine yazılarak karşılık gelen \( y \) değerleri (fonksiyon değerleri) hesaplanır.
• Fonksiyonun tanım aralığının uç noktaları (varsa) da ayrıca fonksiyonda yerine yazılır.
• Elde edilen tüm bu fonksiyon değerleri karşılaştırılır. En büyük değer maksimum, en küçük değer ise minimum değeri verir.

Örnek Soru ve Çözüm

Soru: \( f(x) = x^2 - 4x + 5 \) fonksiyonunun \( [-1, 4] \) aralığındaki maksimum ve minimum değerlerini bulalım.

Çözüm:

1. Türev Alalım: \( f'(x) = 2x - 4 \)
2. Kritik Noktaları Bulalım: Türevi sıfıra eşitleriz. \( 2x - 4 = 0 \implies 2x = 4 \implies x = 2 \) Kritik noktamız \( x = 2 \).
3. Uç Noktalar ve Kritik Noktadaki Değerleri Hesaplayalım:
   • \( x = -1 \) için: \( f(-1) = (-1)^2 - 4(-1) + 5 = 1 + 4 + 5 = 10 \)
   • \( x = 2 \) için: \( f(2) = (2)^2 - 4(2) + 5 = 4 - 8 + 5 = 1 \)
   • \( x = 4 \) için: \( f(4) = (4)^2 - 4(4) + 5 = 16 - 16 + 5 = 5 \)
4. Değerleri Karşılaştıralım:
   • Bulduğumuz değerler: 10, 1 ve 5.
   • Maksimum Değer: En büyük sayı 10'dur.
   • Minimum Değer: En küçük sayı 1'dir.

Sonuç olarak, bu fonksiyon verilen aralıkta maksimum 10 ve minimum 1 değerini alır.

Önemli Uyarılar

• Maksimum ve minimum değerler her zaman kritik noktalarda olmak zorunda değildir. Fonksiyonun tanım aralığının uç noktalarında da olabilir (yukarıdaki örnekte maksimum değer, aralığın sol uç noktasındadır).
• Bir fonksiyonun mutlak maksimum/minimum değer

Answer 2

10. Sınıf Fonksiyonun Maksimum ve Minimum Değerleri Çözümlü Test Soruları

Soru 1: f: R → R, f(x) = -x² + 6x - 5 fonksiyonu veriliyor. Buna göre bu fonksiyonun alabileceği en büyük değer kaçtır?
a) 4   b) 5   c) 6   d) 7   e) 8
Cevap: a) 4
Çözüm: f(x) = -x² + 6x - 5 ikinci dereceden fonksiyonunda a = -1 < 0 olduğu için fonksiyonun tepe noktasında maksimum değeri vardır. Tepe noktasının x değeri r = -b/(2a) = -6/(2*(-1)) = 3'tür. Maksimum değer f(3) = -(3)² + 6*3 - 5 = -9 + 18 - 5 = 4 olarak bulunur.

Soru 2: f(x) = x² - 8x + 19 fonksiyonunun minimum değeri kaçtır?
a) 3   b) 4   c) 5   d) 6   e) 7
Cevap: a) 3
Çözüm: f(x) = x² - 8x + 19 fonksiyonunda a = 1 > 0 olduğu için fonksiyonun tepe noktasında minimum değeri vardır. Tepe noktasının x değeri r = -b/(2a) = -(-8)/(2*1) = 4'tür. Minimum değer f(4) = (4)² - 8*4 + 19 = 16 - 32 + 19 = 3 olarak bulunur.

Soru 3: f(x) = -2x² + 12x - 13 fonksiyonunun görüntü kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
a) (-∞, 5]   b) (-∞, 6]   c) [5, ∞)   d) [6, ∞)   e) (-∞, 7]
Cevap: a) (-∞, 5]
Çözüm: f(x) = -2x² + 12x - 13 fonksiyonunda a = -2 < 0 olduğu için fonksiyonun maksimum değeri vardır. Tepe noktasının x değeri r = -b/(2a) = -12/(2*(-2)) = 3'tür. Maksimum değer f(3) = -2*(3)² + 12*3 - 13 = -18 + 36 - 13 = 5'tir. Fonksiyonun görüntü kümesi (-∞, 5] şeklindedir.

Soru 4: f(x) = 3x² - 6x + k fonksiyonunun minimum değeri 2 olduğuna göre, k kaçtır?
a) 4   b) 5   c) 6   d) 7   e) 8
Cevap: b) 5
Çözüm: f(x) = 3x² - 6x + k fonksiyonunda a = 3 > 0 olduğu için fonksiyonun minimum değeri tepe noktasındadır. Tepe noktasının x değeri r = -b/(2a) = -(-6)/(2*3) = 1'dir. Minimum değer f(1) = 3*(1)² - 6*1 + k = 3 - 6 + k = k - 3'tür. Bu değer 2'ye eşit olduğuna göre, k - 3 = 2 ⇒ k = 5 bulunur.