Sayma, olasılık ve kombinasyon gibi konuların temelini oluşturan önemli bir matematiksel beceridir. Bir olayın kaç farklı şekilde gerçekleşebileceğini bulmak için iki temel yöntem kullanırız: Toplama Yoluyla Sayma ve Çarpma Yoluyla Sayma.
Toplama yoluyla sayma, birbirini dışlayan (aynı anda gerçekleşmeyen) seçeneklerin sayısını bulmak için kullanılır. Yani, bir işlem "A veya B" yollarıyla yapılabiliyorsa, toplam yol sayısı bu seçeneklerin sayılarının toplamına eşittir.
Kural: Ayrık iki işlemden birincisi \( m \), ikincisi \( n \) farklı şekilde yapılabiliyorsa, bu işlemlerden biri \( m + n \) farklı şekilde yapılabilir.
Örnek:
Bir öğrenci kütüphaneden 3 farklı roman veya 5 farklı hikâye kitabından birini seçecektir. Bu seçimi kaç farklı şekilde yapabilir?
Çözüm: Seçimler birbirini dışladığı (ya roman ya hikâye) için toplama yoluyla sayma kuralını kullanırız.
Toplam seçenek sayısı = Roman sayısı + Hikâye sayısı = \( 3 + 5 = 8 \) farklı şekilde.
Çarpma yoluyla sayma, ardışık ve birbirini etkilemeyen seçimlerin sayısını bulmak için kullanılır. Yani, bir işlem "A ve B" aşamalarından oluşuyorsa, toplam yol sayısı bu aşamaların sayılarının çarpımına eşittir.
Kural: İki işlemden birincisi \( m \), ikincisi \( n \) farklı şekilde yapılabiliyorsa, bu işlemlerden ikisi birlikte \( m \times n \) farklı şekilde yapılabilir.
Örnek:
3 farklı gömleği ve 4 farklı pantolonu olan bir kişi, bir gömlek ve bir pantolonu kaç farklı şekilde kombinleyebilir?
Çözüm: Seçimler ardışık ve birbirinden bağımsız olduğu için çarpma yoluyla sayma kuralını kullanırız.
Toplam kombin sayısı = Gömlek sayısı × Pantolon sayısı = \( 3 \times 4 = 12 \) farklı şekilde.
Bazı problemlerde her iki kuralı birlikte kullanmak gerekebilir.
Örnek:
Bir yemek menüsünde 2 çeşit çorba, 4 çeşit ana yemek ve 3 çeşit tatlı bulunmaktadır. Bir müşteri, bir çorba ve bir ana yemek ve bir tatlı yemek isterse kaç farklı seçim yapabilir? Sadece bir ana yemek ve bir tatlı yemek isterse kaç farklı seçim yapabilir?
Çözüm:
1. Durum (Çorba, Ana Yemek, Tatlı): Tüm seçimler birbirini tamamladığı için çarpma kuralı uygulanır.
\( 2 \times 4 \times 3 = 24 \) farklı seçim.
2. Durum (Ana Yemek ve Tatlı): Burada çorba seçimi yoktur. Sadece ana yemek ve tatlı seçimi olduğu için yine çarpma kuralı uygulanır.
\( 4 \times 3 = 12 \) farklı seçim.
Soru 1: Bir öğrenci, 3 farklı matematik kitabı ve 4 farklı fizik kitabı arasından bir kitap seçecektir. Bu öğrenci kaç farklı seçim yapabilir?
a) 7 b) 12 c) 9 d) 5 e) 10
Cevap: a) 7
Çözüm: Öğrenci bir kitap seçecektir. Matematik kitaplarından birini VEYA fizik kitaplarından birini seçer. Seçimler birbirini engellemediği (ayrık kümeler) için toplama yoluyla sayma kuralı uygulanır: 3 (matematik) + 4 (fizik) = 7 farklı seçenek.
Soru 2: Bir lokantada 4 çeşit yemek, 3 çeşit içecek ve 2 çeşit tatlı bulunmaktadır. Bir müşteri, bir yemek, bir içecek ve bir tatlıdan oluşan bir menüyü kaç farklı şekilde oluşturabilir?
a) 9 b) 14 c) 20 d) 24 e) 12
Cevap: d) 24
Çözüm: Müşteri bir yemek, bir içecek VE bir tatlı seçecektir. Seçimler birbirini tamamladığı ve ardışık olduğu için çarpma yoluyla sayma kuralı uygulanır: 4 (yemek) × 3 (içecek) × 2 (tatlı) = 24 farklı menü kombinasyonu.
Soru 3: 5 farklı gömleği ve 3 farklı pantolonu olan Ali, bir gömlek ve bir pantolonu kaç farklı şekilde kombinleyebilir?
a) 8 b) 10 c) 12 d) 15 e) 20
Cevap: d) 15
Çözüm: Ali bir gömlek VE bir pantolon seçecektir. Seçimler birbirini tamamladığı için çarpma yoluyla sayma kuralı uygulanır: 5 (gömlek) × 3 (pantolon) = 15 farklı kıyafet kombinasyonu.
Soru 4: A kentinden B kentine 3 farklı yol, B kentinden C kentine ise 2 farklı yol vardır. A kentinden C kentine gitmek isteyen bir kişi, B'den geçmek koşuluyla kaç farklı yol izleyebilir?
a) 5 b) 6 c) 8 d) 9 e) 12
Cevap: b) 6
Çözüm: Kişi önce A'dan B'ye (3 yol), sonra B'den C'ye (2 yol) gitmelidir. Bu ardışık işlemler çarpma kuralına girer: 3 × 2 = 6 farklı yol kombinasyonu mümkündür.
Günlük hayatta karşılaştığımız birçok durumda farklı seçeneklerin kaç farklı şekilde bir araya gelebileceğini saymamız gerekebilir. Bu tür problemleri çözmek için toplama yoluyla sayma ve çarpma yoluyla sayma olmak üzere iki temel yöntem kullanırız.
Toplama yoluyla sayma, birbirini dışlayan (aynı anda gerçekleşmeyen) seçeneklerin sayısını bulmak için kullanılır. Yani bir işlem, birbirinden bağımsız farklı yollarla yapılabiliyorsa, toplam seçenek sayısı bu yolların sayılarının toplamına eşittir.
Toplama Prensibi: Ayrık kümelerin birleşiminin eleman sayısı, bu kümelerin eleman sayılarının toplamına eşittir.
Örnek: Bir öğrenci kütüphaneden 2 farklı roman veya 3 farklı hikâye kitabı seçecektir. Bu öğrenci kütüphaneden kaç farklı şekilde kitap seçebilir?
Bu iki seçenek aynı anda gerçekleşemeyeceği (ya roman YA DA hikâye kitabı seçileceği) için toplama yoluyla sayma kullanırız.
Toplam seçenek sayısı = 2 + 3 = 5 farklı şekilde.
Çarpma yoluyla sayma, ardışık ve birbirine bağlı seçimlerin sayısını bulmak için kullanılır. Yani bir işlem birkaç aşamadan oluşuyorsa ve her aşamanın sonucu bir sonraki aşamayı etkilemiyorsa, toplam seçenek sayısı bu aşamalardaki seçenek sayılarının çarpımına eşittir.
Çarpma Prensibi: A ve B gibi iki işlem sırayla yapılıyorsa ve A işlemi m farklı şekilde, B işlemi n farklı şekilde yapılabiliyorsa, bu iki işlem birlikte m x n farklı şekilde yapılabilir.
Örnek: 3 farklı gömleği ve 2 farklı pantolonu olan bir kişi, bu giysileri kaç farklı şekilde kombinleyebilir?
Bu seçimler ardışık ve birbirinden bağımsız olduğu için (önce gömlek, sonra pantolon seçiyoruz) çarpma yoluyla sayma kullanırız.
Toplam kombinasyon sayısı = 3 x 2 = 6 farklı şekilde.
Karma Örnek: Bir yemek menüsünde 2 çeşit çorba, 4 çeşit ana yemek ve 3 çeşit tatlı vardır. Bir kişi bir çorba ve bir ana yemek VEYA bir ana yemek ve bir tatlı yemek istiyor. Kaç farklı seçim yapabilir?
Çözüm: Bu problemde hem çarpma hem de toplama pre
