📐 11. Sınıf Trigonometri: Sinüs ve Kosinüs Teoremi Formülleri
Merhaba! Bu ders notumuzda, üçgenlerin açıları ve kenar uzunlukları arasındaki ilişkileri bulmamızı sağlayan çok güçlü iki teoremi öğreneceğiz: Sinüs Teoremi ve Kosinüs Teoremi. Bu teoremler, dik üçgen olmayan geniş veya dar açılı üçgenlerde de problem çözmemize olanak tanır.
🔺 Üçgenin Temel Elemanları (Hatırlatma)
Bir ABC üçgeninde;
- Kenar uzunlukları: \( a = |BC| \), \( b = |AC| \), \( c = |AB| \)
- Kenarların karşısındaki açılar: \( \widehat{A} \), \( \widehat{B} \), \( \widehat{C} \)
1️⃣ Sinüs Teoremi
Sinüs teoremi, bir üçgende kenar uzunluklarının, karşılarındaki açıların sinüs değerleri ile orantılı olduğunu söyler. Ayrıca bu oran, üçgenin çevrel çemberinin çapına eşittir.
📝 Sinüs Teoremi Formülü:
\[
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R
\]
Burada \( R \), ABC üçgeninin çevrel çemberinin yarıçapıdır.
🎯 Sinüs Teoremi Ne İşe Yarar? (Kullanım Alanları)
- ✅ İki açısı ve bir kenarı bilinen üçgende (A.A.A. veya A.K.A) diğer kenarları bulmak.
- ✅ İki kenarı ve bu kenarlardan birinin karşısındaki açı bilinen üçgende (K.K.A) diğer açıyı bulmak.
- ✅ Çevrel çember yarıçapını hesaplamak.
💡 Örnek Senaryo:
Bir ABC üçgeninde \( \widehat{A} = 30^\circ \), \( \widehat{B} = 45^\circ \) ve \( a=8 \text{ cm} \) ise, \( b \) kenarını bulalım.
\[
\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \Rightarrow \frac{8}{\sin 30^\circ} = \frac{b}{\sin 45^\circ}
\]
\[
\frac{8}{0.5} = \frac{b}{\frac{\sqrt{2}}{2}} \Rightarrow 16 = b \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} \Rightarrow b = 8\sqrt{2} \text{ cm}
\]
2️⃣ Kosinüs Teoremi (Genelleştirilmiş Pisagor Teoremi)
Kosinüs teoremi, bir üçgende herhangi bir kenarın karesini, diğer iki kenar ve aralarındaki açının kosinüsü cinsinden ifade eder. Pisagor teoremi, yalnızca dik üçgenler için geçerliyken, kosinüs teoremi tüm üçgenler için geçerlidir.
📝 Kosinüs Teoremi Formülleri:
Üçgenin her bir kenarı için ayrı ayrı yazılabilir:
- \( a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos A \)
- \( b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cdot \cos B \)
- \( c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos C \)
🎯 Kosinüs Teoremi Ne İşe Yarar? (Kullanım Alanları)
- ✅ İki kenarı ve arasındaki açısı bilinen üçgende (K.A.K) üçüncü kenarı bulmak.
- ✅ Üç kenarı bilinen bir üçgende (K.K.K) herhangi bir açıyı bulmak.
- ✅ Bir açının dar mı geniş mi olduğunu anlamak (cos değerinin işaretine bakarak).
💡 Örnek Senaryo:
Bir ABC üçgeninde \( b=6 \text{ cm} \), \( c=8 \text{ cm} \) ve \( \widehat{A} = 60^\circ \) ise, \( a \) kenarını bulalım.
\[
a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos A
\]
\[
a^2 = 6^2 + 8^2 - 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot \cos 60^\circ
\]
\[
a^2 = 36 + 64 - 96 \cdot \frac{1}{2}
\]
\[
a^2 = 100 - 48 = 52 \Rightarrow a = 2\sqrt{13} \text{ cm}
\]
📊 İki Teoremin Karşılaştırılması ve Strateji
Hangi problemi hangi teoremle çözeriz?
- 🔍 Sinüs Teoremi daha çok açı-kenar oranı ile ilgilenir. Probleminizde açılar ve karşılarındaki kenarlar ön plandaysa sinüs teoremini düşünün.
- 🔍 Kosinüs Teoremi daha çok kenar uzunlukları ve aralarındaki açı ile ilgilenir. Üç kenardan biri veya bir açıyı hesaplamak istiyorsanız kosinüs teoremini düşünün.
- 🧠 Çoğu karmaşık problemde, iki teoremi ardışık olarak kullanmak gerekebilir.
✅ Özet ve Anahtar Formüller
- Sinüs: \( \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R \)
- Kosinüs: \( a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos A \)
- Sinüs teoremi, üçgenin çevrel çemberiyle de ilişkilidir.
- Kosinüs teoremi, Pisagor teoreminin genelleştirilmiş halidir. (\( A=90^\circ \) ise \( \cos 90^\circ=0 \) olur ve \( a^2 = b^2 + c^2 \) formülüne dönüşür.)
Bu iki teorem, geometri ve trigonometri problemlerinin vazgeçilmez araçlarıdır. Bol bol pratik yaparak hangi durumda hangisini kullanacağınızı içselleştirmeniz çok önemli. Başarılar! 🚀
