180 ve 360 dereceye göre indirgeme

Question

Bu konuyu anlamakta biraz zorlanıyorum. 180 ve 360 dereceye göre açıları nasıl sadeleştireceğim karıştırıyor. Özellikle hangi durumda hangisini kullanmam gerektiğini tam oturtamadım.

Answer 1

# 📐 180° ve 360°'ye Göre Açı İndirgeme: Trigonometrik Sadeleştirme Yöntemleri

🎯 Konunun Amacı ve Önemi

Trigonometri problemlerinde, özellikle trigonometrik denklemler ve özdeşlikler konularında, açıların 0° ile 90° arasına indirgenmesi işlemleri sıklıkla karşımıza çıkar. Bu indirgeme işlemleri, trigonometrik fonksiyonların değerlerini daha kolay hesaplamamızı sağlar. Bu ders notunda, 180° ve 360°'ye göre indirgeme kurallarını öğrenecek ve bu kuralları nasıl uygulayacağımızı göreceğiz.

📚 Temel Kavramlar: Trigonometrik Fonksiyonların İşaretleri

İndirgeme kurallarını anlamak için öncelikle trigonometrik fonksiyonların dört bölgedeki işaretlerini hatırlayalım:

• 1. Bölge (0°-90°): Tüm fonksiyonlar (+)
  🧠 Akılda tutmak için: "Tüm"
• 2. Bölge (90°-180°): Sinüs (+)
  🧠 Akılda tutmak için: "Sadece"
• 3. Bölge (180°-270°): Tanjant ve Kotanjant (+)
  🧠 Akılda tutmak için: "Ters"
• 4. Bölge (270°-360°): Kosinüs (+)
  🧠 Akılda tutmak için: "Kalan"

🔁 180°'ye Göre İndirgeme Kuralları

Bir açıdan 180° çıkarıldığında veya 180° eklendiğinde, trigonometrik fonksiyonların değeri ya aynı kalır ya da işaret değiştirir. Temel kural şudur: "180° ± θ" ifadelerinde fonksiyon ismi DEĞİŞMEZ, işareti ise θ'nın bulunduğu bölgenin işaretine göre belirlenir.

📐 Formüller:

• \(\sin(180° - \theta) = +\sin\theta\)
• \(\cos(180° - \theta) = -\cos\theta\)
• \(\tan(180° - \theta) = -\tan\theta\)
• \(\cot(180° - \theta) = -\cot\theta\)

• \(\sin(180° + \theta) = -\sin\theta\)
• \(\cos(180° + \theta) = -\cos\theta\)
• \(\tan(180° + \theta) = +\tan\theta\)
• \(\cot(180° + \theta) = +\cot\theta\)

💡 Örnek Uygulama:

Soru: \(\sin 150°\) değerini bulunuz.
Çözüm: \(150° = 180° - 30°\) şeklinde yazabiliriz.
\(\sin(180° - 30°) = \sin 30° = \frac{1}{2}\)
📝 Not: 150° 2. bölgede olduğu için sinüs değeri pozitiftir.

🔄 360°'ye Göre İndirgeme Kuralları

360° (veya \(2\pi\) radyan) bir tam dönüşe karşılık geldiği için, bir açıya 360° eklemek veya çıkarmak açının esas ölçüsünü değiştirmez. Bu nedenle 360°'ye göre indirgemede fonksiyonun hem ismi hem de işareti değişmez.

📐 Formüller:

• \(\sin(360° ± \theta) = ±\sin\theta\) (θ'nın bulunduğu bölgeye göre işaret belirlenir)
• \(\cos(360° ± \theta) = \cos\theta\) (kosinüs çift fonksiyon olduğu için işaret değişmez)
• \(\tan(360° ± \theta) = ±\tan\theta\)

Özellikle: \(\sin(360° - \theta) = -\sin\theta\) ve \(\cos(360° - \theta) = \cos\theta\)

💡 Örnek Uygulama:

Soru: \(\cos 390°\) değerini bulunuz.
Çözüm: \(390° = 360° + 30°\) şeklinde yazabiliriz.
\(\cos(360° + 30°) = \cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
📝 Not: 390° esas ölçü olarak 30°'ye eşdeğerdir (390° - 360° = 30°).

🎓 Pratik Yöntem: "ASTC" Kuralı ile Hızlı İndirgeme

İngilizce "All Students Take Calculus" cümlesinin baş harflerinden oluşan bu kural, her bölgede hangi trigonometrik fonksiyonların pozitif olduğunu hatırlamamızı sağlar:

• All (1. Bölge): Tümü pozitif
• Students (2. Bölge): Sinüs (ve kosekant) pozitif
• Take (3. Bölge): Tanjant (ve kotanjant) pozitif
• Calculus (4. Bölge): Kosinüs (ve sekant) pozitif

✅ Alıştırma Soruları

1. \(\sin 210°\) değerini bulunuz.
2. \(\cos 315°\) değerini bulunuz.
3. \(\tan 240°\) değerini bulunuz.
4. \(\cot 135°\) değerini bulunuz.

📖 Çözüm İpuçları:

• 1. soru için: \(210° = 180° + 30°\)
• 2. soru için: \(315° = 360° - 45°\)
• 3. soru için: \(240° = 180° + 60°\)
• 4. soru için: \(135° = 180° - 45°\)

📈 Özet Tablo: 180° ve 360° İndirgeme Kuralları

Aşağıdaki tablo, indirgeme kurallarını özetlemektedir:

180° ± θ için:
• Fonksiyon ismi değişmez
• İşaret, θ'nın bulunduğu bölgeye göre belirlenir

360° ± θ için:
• 360° eklemek veya çıkarmak açının esas ölçüsünü değiştirmez
• Kosinüs gibi çift fonksiyonlar için işaret değişmez

🔍 Önemli Hatırlatma: İndirgeme işlemlerinde her zaman açıyı 0°-90° aralığına getirmeye çalışın. Bu, trigonometrik değerleri daha kolay hesaplamanızı sağlayacaktır.