📐 2026 TYT: Açıortay Uzunluğu Nasıl Hesaplanır?
Açıortay uzunluğu, üçgenlerde sıklıkla karşılaşılan ve çözümü merak edilen bir konudur. Bu yazıda, açıortay uzunluğunu hesaplama formülünü ve örneklerini inceleyeceğiz.
📏 Açıortay Nedir?
- ✨ Açıortay: Bir açıyı iki eş parçaya bölen doğru parçasıdır. Üçgenlerde iç açıortay ve dış açıortay olmak üzere iki tür açıortay bulunur.
📝 İç Açıortay Uzunluğu Formülü
İç açıortay uzunluğunu hesaplamak için aşağıdaki formülü kullanabiliriz:
$n_A^2 = b \cdot c - p \cdot r$
Burada:
- 📐 $n_A$: A açısının iç açıortay uzunluğu
- 📏 $b$ ve $c$: A açısını oluşturan kenar uzunlukları
- 📌 $p$ ve $r$: Açıortayın karşı kenarı böldüğü parçaların uzunlukları
Bu formülü kullanırken, $p$ ve $r$ uzunluklarını bulmak için öncelikle açıortay teoremini kullanmamız gerekebilir. Açıortay teoremi, açıortayın karşı kenarı, diğer iki kenarın uzunlukları oranında böldüğünü söyler. Yani:
$\frac{p}{r} = \frac{b}{c}$
📌 Dış Açıortay Uzunluğu Formülü
Dış açıortay uzunluğunu hesaplamak için aşağıdaki formülü kullanabiliriz:
$n_A'^2 = p \cdot r - b \cdot c$
Burada:
- 📐 $n_A'$: A açısının dış açıortay uzunluğu
- 📏 $b$ ve $c$: A açısını oluşturan kenar uzunlukları
- 📌 $p$ ve $r$: Dış açıortayın karşı kenarın uzantısını böldüğü parçaların uzunlukları
❓ Örnek Soru 1
Bir ABC üçgeninde $|AB| = 6$ cm, $|AC| = 8$ cm ve $|BC| = 7$ cm'dir. A açısının iç açıortayı BC kenarını D noktasında kestiğine göre, $|AD|$ uzunluğunu bulunuz.
Çözüm:
Öncelikle açıortay teoremini kullanarak BD ve DC uzunluklarını bulalım:
$\frac{|BD|}{|DC|} = \frac{|AB|}{|AC|} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$
$|BD| = 3x$ ve $|DC| = 4x$ dersek, $|BC| = 7x = 7$ cm olur. Buradan $x = 1$ cm bulunur. Yani $|BD| = 3$ cm ve $|DC| = 4$ cm'dir.
Şimdi iç açıortay uzunluğu formülünü kullanarak $|AD|$ uzunluğunu hesaplayabiliriz:
$|AD|^2 = |AB| \cdot |AC| - |BD| \cdot |DC|$
$|AD|^2 = 6 \cdot 8 - 3 \cdot 4$
$|AD|^2 = 48 - 12$
$|AD|^2 = 36$
$|AD| = 6$ cm
❓ Örnek Soru 2
ABC üçgeninde $|AB| = 5$ cm, $|AC| = 12$ cm ve $|BC| = 13$ cm'dir. A açısının dış açıortayı BC doğrusunu D noktasında kestiğine göre, $|AD|$ uzunluğunu bulunuz.
Çözüm:
Açıortay teoremini kullanarak |BD| ve |CD| uzunlukları arasındaki ilişkiyi bulalım:
$\frac{|BD|}{|CD|} = \frac{|AB|}{|AC|} = \frac{5}{12}$
$|BD| = 5x$ dersek, $|CD| = 12x$ olur. $|CD| - |BD| = |BC| = 13$ cm olduğundan, $12x - 5x = 7x = 13$ cm olur. Buradan $x = \frac{13}{7}$ cm bulunur.
$|BD| = 5 \cdot \frac{13}{7} = \frac{65}{7}$ cm ve $|CD| = 12 \cdot \frac{13}{7} = \frac{156}{7}$ cm'dir.
Şimdi dış açıortay uzunluğu formülünü kullanarak $|AD|$ uzunluğunu hesaplayabiliriz:
$|AD|^2 = |BD| \cdot |CD| - |AB| \cdot |AC|$
$|AD|^2 = \frac{65}{7} \cdot \frac{156}{7} - 5 \cdot 12$
$|AD|^2 = \frac{10140}{49} - 60$
$|AD|^2 = \frac{10140 - 2940}{49}$
$|AD|^2 = \frac{7200}{49}$
$|AD| = \sqrt{\frac{7200}{49}} = \frac{60\sqrt{2}}{7}$ cm
💡 Ek Bilgiler ve İpuçları
- 📌 Açıortay uzunluğu sorularında öncelikle açıortay teoremini kullanmak, sorunun çözümüne ulaşmanızı kolaylaştırır.
- 📐 Formülleri ezberlemek yerine, mantığını anlamaya çalışın. Bu, farklı soru tiplerinde daha esnek olmanızı sağlar.
- 📏 Bol bol pratik yaparak, farklı soru tiplerine aşina olun.
Umarım bu yazı, açıortay uzunluğunu hesaplama konusunda size yardımcı olmuştur. Başarılar!
