🧮 2026 TYT'ye Hazırlık: Dönüşüm Geometrisi Formülleri Rehberi
Dönüşüm geometrisi, şekilleri hareket ettirerek veya değiştirerek inceleyen bir matematik dalıdır. TYT sınavında başarılı olmak için bu konudaki temel formülleri ve anlamlarını iyi anlamak önemlidir. İşte en kritik formüller ve açıklamaları:
📍 Temel Dönüşümler
- 🔄 Öteleme: Bir şekli belirli bir vektör doğrultusunda kaydırmaktır.
Bir $P(x, y)$ noktası, $v(a, b)$ vektörü ile ötelenirse, yeni koordinatları $P'(x+a, y+b)$ olur.
- ✨ Dönme: Bir şekli belirli bir nokta etrafında döndürmektir.
Bir $P(x, y)$ noktası, orijin etrafında $\theta$ açısı kadar döndürülürse, yeni koordinatları şu şekilde bulunur:
$x' = x \cdot cos(\theta) - y \cdot sin(\theta)$
$y' = x \cdot sin(\theta) + y \cdot cos(\theta)$
- mirror: Yansıma: Bir şekli bir doğruya göre aynalamaktır.
- ➡️ x-eksenine göre yansıma: $P(x, y)$ noktası $P'(x, -y)$ olur.
- ⬆️ y-eksenine göre yansıma: $P(x, y)$ noktası $P'(-x, y)$ olur.
- 💠 Orijine göre yansıma: $P(x, y)$ noktası $P'(-x, -y)$ olur.
- 📐 $y=x$ doğrusuna göre yansıma: $P(x, y)$ noktası $P'(y, x)$ olur.
- 📏 $y=-x$ doğrusuna göre yansıma: $P(x, y)$ noktası $P'(-y, -x)$ olur.
- ⚖️ Ölçekleme (Homoteti): Bir şeklin boyutunu bir oranda değiştirmektir.
Bir $P(x, y)$ noktası, merkez orijin olmak üzere $k$ ölçekleme faktörü ile ölçeklenirse, yeni koordinatları $P'(kx, ky)$ olur.
📐 Dönüşüm Matrisleri
Dönüşümleri matrisler kullanarak ifade etmek, karmaşık dönüşümleri kolayca birleştirmemizi sağlar.
- ➡️ Öteleme Matrisi:
$\begin{bmatrix} 1 & 0 & a \\ 0 & 1 & b \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
Burada $a$ ve $b$, sırasıyla x ve y eksenlerindeki öteleme miktarlarını temsil eder.
- 🔄 Dönme Matrisi:
$\begin{bmatrix} cos(\theta) & -sin(\theta) & 0 \\ sin(\theta) & cos(\theta) & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
Bu matris, şekli orijin etrafında $\theta$ açısı kadar döndürür.
- ⚖️ Ölçekleme Matrisi:
$\begin{bmatrix} k_x & 0 & 0 \\ 0 & k_y & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
Burada $k_x$ ve $k_y$, sırasıyla x ve y eksenlerindeki ölçekleme faktörlerini temsil eder.
❓ Sıkça Sorulan Sorular
- 🤔 Dönüşüm sırası önemli midir?
Evet, dönüşüm sırası önemlidir. Farklı sıralamalar farklı sonuçlar verebilir. Örneğin, önce öteleyip sonra döndürmek ile önce döndürüp sonra ötelemek farklı sonuçlar doğurabilir.
- 🧮 Birden fazla dönüşümü nasıl uygularız?
Birden fazla dönüşümü uygulamak için, dönüşüm matrislerini sırayla çarparız. Örneğin, önce A dönüşümünü sonra B dönüşümünü uygulamak için, B matrisi ile A matrisini çarparız (B x A).
Bu formülleri ve kavramları anlamak, dönüşüm geometrisi sorularını çözmek için sağlam bir temel oluşturacaktır. Başarılar!
