9. Sınıf Artan ve Azalan Fonksiyon Nedir?

Question

Artandan fonksiyon, x değerleri arttıkça y değerleri de artan fonksiyondur, azalan fonksiyonda ise tam tersi olur. Örneğin, y = 2x artan, y = -x + 3 ise azalan bir fonksiyondur. Grafikte artan fonksiyon yukarı doğru çıkar, azalan fonksiyon aşağı iner.

Answer 1

Artan ve Azalan Fonksiyon Nedir?

Bir fonksiyonun artan veya azalan olması, tanım kümesindeki değerler arttıkça fonksiyonun nasıl davrandığını ifade eder. Bu kavram, fonksiyonların grafiklerini yorumlamada önemlidir.

Artan Fonksiyon Tanımı

Bir \( f \) fonksiyonu, tanım kümesindeki her \( x_1 < x_2 \) için \( f(x_1) < f(x_2) \) sağlıyorsa artan fonksiyon olarak adlandırılır. Yani, \( x \) değerleri arttıkça \( f(x) \) değerleri de artar.

Azalan Fonksiyon Tanımı

Bir \( f \) fonksiyonu, tanım kümesindeki her \( x_1 < x_2 \) için \( f(x_1) > f(x_2) \) sağlıyorsa azalan fonksiyon olarak adlandırılır. Yani, \( x \) değerleri arttıkça \( f(x) \) değerleri azalır.

Örnekler

• Artan fonksiyon örneği: \( f(x) = 2x + 1 \) → \( x \) arttıkça \( f(x) \) de artar.
• Azalan fonksiyon örneği: \( f(x) = -3x + 4 \) → \( x \) arttıkça \( f(x) \) azalır.
• Sabit fonksiyon: \( f(x) = 5 \) → Ne artan ne de azalandır.

Özet

• Artan fonksiyon: \( x \) artarsa \( f(x) \) artar.
• Azalan fonksiyon: \( x \) artarsa \( f(x) \) azalır.
• Fonksiyonun artan veya azalan olduğunu anlamak için türev (ileride öğreneceksiniz) veya değer tablosu kullanılabilir.

Answer 2

9. Sınıf Artan ve Azalan Fonksiyon Çalışma Kağıdı ve Etkinlikler

Boşluk Doldurma

1. Bir fonksiyonun tanım kümesindeki her \( x_1 < x_2 \) için \( f(x_1) < f(x_2) \) ise bu fonksiyon ______ fonksiyondur.

2. \( f(x) = -3x + 5 \) fonksiyonu tüm reel sayılarda ______ fonksiyondur.

3. \( f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) için \( f(x) = x^2 \) fonksiyonu \( x \geq 0 \) aralığında ______ fonksiyondur.

Doğru/Yanlış

1. \( f(x) = 2^x \) fonksiyonu tüm reel sayılarda artandır. ( )

2. \( f(x) = \frac{1}{x} \) fonksiyonu \( x > 0 \) aralığında azalandır. ( )

3. Sabit fonksiyonlar hem artan hem azalan fonksiyon olarak kabul edilir. ( )

Eşleştirme

• A) \( f(x) = 5x - 2 \)
• B) \( f(x) = -x^3 \)
• C) \( f(x) = \sqrt{x} \)
• D) \( f(x) = 4 \)

1. Tüm reel sayılarda azalan

2. \( x \geq 0 \)'da artan

3. Tüm reel sayılarda artan

4. Sabit fonksiyon

Açık Uçlu Sorular

1. \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1 \) fonksiyonunun artan ve azalan olduğu aralıkları belirtiniz.

2. \( f(x) = \frac{2x - 1}{x + 3} \) fonksiyonunun azalan olduğunu gösteriniz.

Kısa Test

1. Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi \( \mathbb{R} \)'de daima artandır?

a) \( f(x) = \sin x \)   b) \( f(x) = e^{-x} \)   c) \( f(x) = x^3 \)   d) \( f(x) = |x| \)

2. \( f(x) = ax + b \) fonksiyonunun azalan olması için \( a \) ne olmalıdır?

a) \( a > 0 \)   b) \( a < 0 \)   c) \( a = 0 \)   d) \( a \neq 0 \)

Cevaplar:

1: artan, 2: azalan, 3: artan

1: D, 2: Y, 3: D

A-3, B-1, C-2, D-4

1: c, 2: b

Answer 3

9. Sınıf Artan ve Azalan Fonksiyon Çözümlü Test Soruları

Soru 1: Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi tüm gerçek sayılarda kesinlikle artandır?

a) \( f(x) = -2x + 5 \)
b) \( f(x) = x^3 - 3x \)
c) \( f(x) = e^x \)
d) \( f(x) = \sin x \)
e) \( f(x) = |x| \)

Cevap: c) \( f(x) = e^x \)
Çözüm: \( e^x \) fonksiyonunun türevi \( e^x > 0 \) olduğundan tüm gerçek sayılarda artandır. Diğer seçeneklerde fonksiyonlar ya azalan ya da belirli aralıklarda davranış değiştirir.

Soru 2: \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \) fonksiyonu için aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

a) \( (-\infty, 2) \) aralığında artandır
b) \( (2, \infty) \) aralığında azalandır
c) \( x = 2 \) noktasında yerel minimumu vardır
d) Tüm gerçek sayılarda sabittir
e) \( (-\infty, 0) \) aralığında pozitif değerler alır

Cevap: c) \( x = 2 \) noktasında yerel minimumu vardır
Çözüm: Türev \( f'(x) = 2x - 4 \) ile kritik nokta \( x = 2 \)'dir. İkinci türev \( f''(x) = 2 > 0 \) olduğundan bu nokta yerel minimumdur. Fonksiyon \( (-\infty, 2) \) aralığında azalan, \( (2, \infty) \) aralığında artandır.