9. Sınıf Üçgenin Açı Ölçüleri ve Kenar Uzunlukları Arasındaki İlişki Nedir?

Question

Üçgenlerde bir kenarın karşısındaki açı ne kadar büyükse, o kenarın uzunluğunun da o kadar büyük olduğunu öğrendim. Fakat bu ilişkiyi sorularda nasıl kullanacağımı tam olarak kavrayamadım, özellikle açılar verilip kenarları sıralamam istendiğinde kafam karışıyor.

Answer 1

Üçgenin Temel Özellikleri

Bir üçgenin üç iç açısının ölçüleri toplamı her zaman 180 derece'dir (\(A + B + C = 180^\circ\)). Ayrıca, bir üçgende bir kenarın uzunluğu, diğer iki kenarın uzunlukları toplamından küçük, farkının mutlak değerinden ise büyüktür. Buna Üçgen Eşitsizliği Teoremi denir.

Kenar Uzunlukları ve Açı Ölçüleri Arasındaki İlişki

Bir üçgende kenar uzunlukları ile açı ölçüleri arasında çok önemli bir ilişki vardır:

• Büyük açı karşısında büyük kenar, küçük açı karşısında küçük kenar bulunur.

Yani, bir üçgende iki açının ölçüsü birbirinden farklı ise, bu açıların karşılarındaki kenar uzunlukları da aynı şekilde farklı olacaktır. Büyük açının karşısındaki kenar, küçük açının karşısındaki kenardan daha uzundur.

Örnek

Kenar uzunlukları \(a\), \(b\) ve \(c\), açı ölçüleri \(A\), \(B\) ve \(C\) olan bir üçgen düşünelim.

• Eğer \(a > b\) ise, \(a\) kenarının karşısındaki \(A\) açısı, \(b\) kenarının karşısındaki \(B\) açısından büyüktür (\(A > B\)).
• Tam tersi, eğer \(B > C\) ise, \(B\) açısının karşısındaki \(b\) kenarı, \(C\) açısının karşısındaki \(c\) kenarından uzundur (\(b > c\)).

Sonuç

Bu kural, bir üçgenin kenar uzunluklarını veya açı ölçülerini karşılaştırırken bize yol gösterir. Kenarlar ve açılar arasında doğru orantılı bir ilişki yoktur, ancak büyüklük-küçüklük sıralaması her zaman aynıdır. En uzun kenar, her zaman en büyük açının karşısında yer alır.

Answer 2

9. Sınıf Üçgenin Açı Ölçüleri ve Kenar Uzunlukları Arasındaki İlişki Çözümlü Test Soruları

Soru 1: Bir ABC üçgeninde m(∠A) = 50°, m(∠B) = 60° ve m(∠C) = 70° dir. Bu üçgenin kenar uzunlukları a, b ve c sırasıyla ∠A, ∠B ve ∠C'nin karşılarındaki kenarlardır. Buna göre aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur?
a) a < b < c
b) a < c < b
c) c < b < a
d) b < a < c
e) c < a < b
Cevap: a) a < b < c
Çözüm: Bir üçgende bir açının büyüklüğü arttıkça, o açının karşısındaki kenarın uzunluğu da artar. En küçük açı ∠A (50°) olduğu için karşısındaki a kenarı en kısa, en büyük açı ∠C (70°) olduğu için karşısındaki c kenarı en uzundur. Doğru sıralama a < b < c şeklindedir.

Soru 2: Kenar uzunlukları 6 cm, 8 cm ve 11 cm olan bir üçgenin açı ölçüleri α, β ve θ'dur. En uzun kenar 11 cm olduğuna göre, bu kenarın karşısındaki açının özelliği için aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?
a) Dar açıdır.
b) Dik açıdır.
c) Geniş açıdır.
d) Ölçüsü 90°'den küçüktür.
e) Ölçüsü 90°'den büyüktür.
Cevap: e) Ölçüsü 90°'den büyüktür.
Çözüm: Bir üçgende bir kenarın uzunluğunun karesi, diğer iki kenarın kareleri toplamından büyükse, o kenarın karşısındaki açı geniş açıdır (90°'den büyüktür). 11² = 121, 6² + 8² = 36 + 64 = 100. 121 > 100 olduğundan, 11 cm'lik kenarın karşısındaki açının ölçüsü 90°'den büyüktür.

Soru 3: Aşağıda kenar uzunlukları verilen üçgenlerden hangisinin açıları sıralandığında, en büyük açı en kısa kenarın karşısında bulunur?
a) |AB| = 7, |AC| = 7, |BC| = 7
b) |AB| = 5, |AC| = 12, |BC| = 9
c) |AB| = 8, |AC| = 6, |BC| = 10
d) |AB| = 10, |AC| = 10, |BC| = 15
e) |AB| = 15, |AC| = 20, |BC| = 25
Cevap: d) |AB| = 10, |AC| = 10, |BC| = 15
Çözüm: Bir üçgende en büyük açı, en uzun kenarın karşısındadır. Soruda en büyük açının en kısa kenarın karşısında olması istenmektedir. Bu, en uzun kenarla en kısa kenarın yer değiştirmesi anlamına gelir. Seçenekler incelendiğinde, d şıkkındaki üçgende en uzun kenar |BC| = 15 cm'dir. Bu kenarın karşısındaki ∠A açısı en büyük açıdır. A köşesine komşu olan kenarlar ise |AB| = |AC| = 10 cm'dir ve bunlar en kısa kenarlardır. Dolayısıyla en büyük açı (∠A), en kısa kenarlara (10 cm) komşudur, yani karşısında en uzun kenar (15 cm) bulunur. Bu durum diğer seçeneklerdeki eşkenar, ç