9. Sınıf üslü gösterimlerle yapılan işlemler nedir?

Question

Üslü gösterimlerde çarpma ve bölme işlemlerini yaparken kuralları karıştırıyorum. Özellikle tabanlar aynı değilse veya hem taban hem üs farklıysa nasıl bir yol izlemem gerektiğini tam anlayamadım. Ayrıca negatif üsler kafamı karıştırıyor.

Answer 1

Üslü İfadelerle İşlemler

Üslü ifadeler, bir sayının kendisiyle kaç kez çarpılacağını gösteren kısa bir gösterimdir. aⁿ ifadesinde;

• a: Taban (Hangi sayının çarpılacağı)
• n: Üs veya Kuvvet (Kaç kez çarpılacağı)

Örneğin, \( 5^3 = 5 \times 5 \times 5 = 125 \) şeklinde hesaplanır.

1. Aynı Tabanlı Üslü İfadelerde Çarpma İşlemi

Üsler toplanır, ortak taban aynen yazılır.

Kural: \( a^m \times a^n = a^{m+n} \)

Örnek: \( 2^4 \times 2^5 = 2^{4+5} = 2^9 = 512 \)

2. Aynı Tabanlı Üslü İfadelerde Bölme İşlemi

Payın üssünden paydanın üssü çıkarılır, ortak taban aynen yazılır.

Kural: \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \)

Örnek: \( \frac{3^7}{3^4} = 3^{7-4} = 3^3 = 27 \)

3. Üssün Üssü (Kuvvetin Kuvveti)

Üsler birbiriyle çarpılır.

Kural: \( (a^m)^n = a^{m \times n} \)

Örnek: \( (4^2)^3 = 4^{2 \times 3} = 4^6 = 4096 \)

4. Çarpımın Kuvveti

Kuvvet, çarpım durumundaki her sayıya ayrı ayrı uygulanır.

Kural: \( (a \times b)^n = a^n \times b^n \)

Örnek: \( (2 \times 5)^3 = 2^3 \times 5^3 = 8 \times 125 = 1000 \)

5. Bölümün Kuvveti

Kuvvet, bölüm durumundaki her sayıya ayrı ayrı uygulanır.

Kural: \( (\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n} \)

Örnek: \( (\frac{6}{2})^4 = \frac{6^4}{2^4} = \frac{1296}{16} = 81 \)

6. Negatif Üs

Bir üslü ifadenin üssü negatifse, bu ifade pay ve paydanın yer değiştirmiş haline eşittir.

Kural: \( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \)

Örnek: \( 2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} \)

Önemli Notlar

• Herhangi bir sayının sıfırıncı kuvveti 1'dir. \( a^0 = 1 \) (a ≠ 0)
• 1'in tüm kuvvetleri 1'dir. \( 1^n = 1 \)
• 0'ın (sıfırın) pozitif kuvvetleri 0'dır. \( 0^n = 0 \) (n > 0)
• 0⁰ belirsizdir.

Answer 2

9. Sınıf Üslü Gösterimlerle Yapılan İşlemler Çözümlü Test Soruları

Soru 1: Bir araştırmacı, bir bakteri kolonisinin sayısını her saat başı 4 katına çıktığını gözlemliyor. 3 saat sonra kolonide \( 4^{10} \) adet bakteri olduğuna göre, başlangıçta kaç bakteri vardır?
a) \( 4^{2} \)   b) \( 4^{5} \)   c) \( 4^{7} \)   d) \( 4^{8} \)   e) \( 4^{9} \)
Cevap: c) \( 4^{7} \)
Çözüm: Bakteri sayısı her saatte 4 katına çıkıyorsa, 3 saat sonra başlangıçtaki sayının \( 4^3 \) katı olur. Başlangıçtaki bakteri sayısına \( x \) diyelim: \( x \cdot 4^3 = 4^{10} \). Buradan \( x = \frac{4^{10}}{4^3} = 4^{10-3} = 4^{7} \) bulunur.

Soru 2: \( \left(\dfrac{2^{-3} \cdot 8^2}{16}\right)^{-1} \) işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
a) 2   b) 4   c) 8   d) 16   e) 32
Cevap: a) 2
Çözüm: Tüm sayıları 2'nin kuvveti şeklinde yazalım: \( 8^2 = (2^3)^2 = 2^6 \), \( 16 = 2^4 \). İfade: \( \left(\dfrac{2^{-3} \cdot 2^6}{2^4}\right)^{-1} = \left(\dfrac{2^{3}}{2^4}\right)^{-1} = \left(2^{-1}\right)^{-1} = 2^{1} = 2 \).

Soru 3: \( \dfrac{5^{x+2} + 5^{x+1} + 5^x}{5^{x-1}} \) işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
a) 5   b) 25   c) 31   d) 125   e) 155
Cevap: e) 155
Çözüm: Paydaki terimlerin ortak çarpanı \( 5^x \) parantezine alınır: \( \dfrac{5^x(5^2 + 5^1 + 1)}{5^{x-1}} \). \( 5^x / 5^{x-1} = 5^{1} = 5 \) olduğundan, ifade \( 5 \cdot (25 + 5 + 1) = 5 \cdot 31 = 155 \) olur.

Soru 4: \( a \) ve \( b \) birer tam sayı olmak üzere, \( 12^5 \cdot 18^3 = 2^a \cdot 3^b \) eşitliği veriliyor. Buna göre \( a + b \) toplamı kaçtır?
a) 15   b) 16   c) 17   d) 18   e) 19
Cevap: c) 17
Çözüm: Sayıları asal çarpanlarına ayıralım: \( 12^5 = (2^2 \cdot 3)^5 = 2^{10} \cdot 3^5 \), \( 18^3 = (2 \cdot 3^2)^3 = 2^{3} \cdot 3^6 \). Çarpım: \( 2^{10+3} \cdot 3^{5+6} = 2^{13} \cdot 3^{11} \). Dolayısıyla \( a=13 \), \( b=11 \) ve \( a+b=24 \) olur. Ancak seçeneklerde 24 yok, işlem kontrol edilmeli. \( 12^5 \cdot 18^3 = (2^2 \cdot 3)^5 \cdot (2 \cdot 3^2)^3 = 2^{10} \cdot 3^5 \cdot 2^3 \cdot 3^6 = 2^{13} \cdot 3^{11} \). \( 13 + 11 = 24 \). Seçen