a kök b (a√b) şeklindeki ifade

Question

Bu konuyu anlamakta biraz zorlanıyorum. Mesela bir sayıyı neden a√b şeklinde yazıyoruz? Kök dışına nasıl çıkarıyoruz ve bunun amacı ne? Temel mantığını kavrayamadım.

Answer 1

📐 a√b Şeklindeki İfadeler (Köklü Sayılar)

Matematikte karşılaştığımız a√b şeklindeki ifadelere köklü sayılar denir. Bu yapı, bir sayının karekökünü alarak elde edilen ve daha sade bir şekilde ifade edilen sayıları temsil eder.

🧩 Bileşenleri Tanıyalım

• ✅ a (Katsayı): Kök dışındaki sayıyı ifade eder. Kökün çarpıldığı sayıdır.
• ✅ √ (Kök Sembolü): Karekök alma işlemini gösterir.
• ✅ b (Kök İçi): Kökün içinde bulunan ve kökü alınan sayıdır.

Örneğin, 3√5 ifadesinde;
➡️ a = 3 (katsayı)
➡️ b = 5 (kök içi)

🎯 Köklü İfadeleri Sadeleştirme

Bir köklü ifadeyi sadeleştirmek için kök içindeki sayıyı çarpanlarına ayırırız ve tam kare olan çarpanları kök dışına çıkarırız.

Sadeleştirme Adımları:

1. 📌 Kök içindeki sayıyı asal çarpanlarına ayır.
2. 📌 Tam kare olan çarpanları belirle (4, 9, 16, 25, ...).
3. 📌 Tam kare çarpanların karekökünü al ve kök dışına çıkar (katsayı ile çarp).
4. 📌 Kök içinde kalan sayıları çarp ve kök içinde yaz.

🔢 Örnek: √72'yi Sadeleştirelim

1. Adım: 72'yi asal çarpanlarına ayıralım: \( 72 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 3 = 2^2 \times 2 \times 3^2 \)

2. Adım: Tam kare çarpanlar: \( 2^2 \) ve \( 3^2 \)

3. Adım: Bunların karekökünü alıp kök dışına çıkaralım: \( \sqrt{2^2} = 2 \), \( \sqrt{3^2} = 3 \)

4. Adım: Kök dışına çıkan sayıları çarp: \( 2 \times 3 = 6 \) (Bu bizim a katsayımız olur)

5. Adım: Kök içinde kalan sayı: 2

Sonuç: \( \sqrt{72} = 6\sqrt{2} \)

➗ Köklü Sayılarla Toplama ve Çıkarma

Köklü sayılarla toplama veya çıkarma işlemi yapabilmek için kök içleri aynı olmalıdır. Kök içleri aynı ise, katsayılar toplanır veya çıkarılır, kök içi aynen kalır.

Örnek: \( 3\sqrt{5} + 2\sqrt{5} = (3+2)\sqrt{5} = 5\sqrt{5} \)

Örnek: \( 7\sqrt{3} - 4\sqrt{3} = (7-4)\sqrt{3} = 3\sqrt{3} \)

⚠️ Uyarı: Kök içleri farklı olan ifadeler toplanamaz veya çıkarılamaz! Örneğin, \( 2\sqrt{3} + 5\sqrt{2} \) ifadesi daha fazla sadeleştirilemez.

✖️ Köklü Sayılarla Çarpma ve Bölme

Köklü sayılarla çarpma ve bölme işlemlerinde kök içleri aynı olmak zorunda değildir.

Çarpma Kuralı: \( a\sqrt{m} \times b\sqrt{n} = (a \times b)\sqrt{m \times n} \)

Örnek: \( 2\sqrt{3} \times 4\sqrt{5} = (2 \times 4)\sqrt{3 \times 5} = 8\sqrt{15} \)

Bölme Kuralı: \( \frac{a\sqrt{m}}{b\sqrt{n}} = \frac{a}{b}\sqrt{\frac{m}{n}} \)

Örnek: \( \frac{6\sqrt{15}}{3\sqrt{5}} = \frac{6}{3}\sqrt{\frac{15}{5}} = 2\sqrt{3} \)

💡 Önemli Kurallar

• ⭐ Kök içindeki sayı negatif olamaz: \( \sqrt{-4} \) tanımsızdır (reel sayılarda).
• ⭐ \( \sqrt{a} \times \sqrt{a} = a \)
• ⭐ \( \sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b} \)
• ⭐ \( \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \)