📐 ALES Geometri: Öteleme Formülleri ve Uygulama Örnekleri
Öteleme, bir şeklin veya noktanın düzlemde yer değiştirmesi işlemidir. Bu işlem sırasında şeklin boyutu veya yönü değişmez, sadece konumu değişir. ALES geometrisinde öteleme sorularını çözmek için öteleme formüllerini ve mantığını iyi anlamak gerekir.
📍 Öteleme Formülleri
Bir $P(x, y)$ noktasının, $a$ birim sağa (veya sola, $a$ negatif ise) ve $b$ birim yukarı (veya aşağı, $b$ negatif ise) ötelenmesiyle elde edilen nokta $P'(x', y')$ olsun. Bu durumda:
- ➡️ $x' = x + a$
- ⬆️ $y' = y + b$
Yani, $P(x, y)$ noktası $(a, b)$ vektörü ile ötelenirse, yeni nokta $P'(x+a, y+b)$ olur.
📝 Örnek 1: Nokta Ötelemesi
$A(2, -3)$ noktasının 3 birim sağa ve 2 birim yukarı ötelenmesiyle elde edilen noktanın koordinatları nedir?
Çözüm:
$A'(x', y')$ olsun. Öteleme formüllerine göre:
- ➡️ $x' = x + a = 2 + 3 = 5$
- ⬆️ $y' = y + b = -3 + 2 = -1$
Dolayısıyla, $A'$ noktasının koordinatları $(5, -1)$'dir.
📈 Örnek 2: Doğru Ötelemesi
$y = 2x + 1$ doğrusunun 1 birim sola ve 2 birim yukarı ötelenmesiyle elde edilen doğrunun denklemi nedir?
Çözüm:
Öteleme formüllerine göre, $x' = x - 1$ ve $y' = y + 2$ olur. Buradan $x = x' + 1$ ve $y = y' - 2$ elde ederiz. Bu değerleri orijinal denklemde yerine koyarsak:
$y' - 2 = 2(x' + 1) + 1$
$y' - 2 = 2x' + 2 + 1$
$y' = 2x' + 5$
Dolayısıyla, ötelenmiş doğrunun denklemi $y = 2x + 5$'tir.
🔷 Örnek 3: Şekil Ötelemesi
Köşe noktaları $A(1, 1)$, $B(3, 1)$ ve $C(3, 3)$ olan bir üçgenin 2 birim sağa ve 1 birim aşağı ötelenmesiyle elde edilen üçgenin köşe noktaları nelerdir?
Çözüm:
Her bir köşe noktasını ayrı ayrı öteleyelim:
- ➡️ $A'(x', y') = A(1+2, 1-1) = A'(3, 0)$
- ➡️ $B'(x', y') = B(3+2, 1-1) = B'(5, 0)$
- ➡️ $C'(x', y') = C(3+2, 3-1) = C'(5, 2)$
Dolayısıyla, ötelenmiş üçgenin köşe noktaları $A'(3, 0)$, $B'(5, 0)$ ve $C'(5, 2)$'dir.
❓ ALES Tarzı Soru ve Çözümü
Analitik düzlemde $A(2, 3)$ noktası veriliyor. Bu nokta önce $x$ ekseni boyunca pozitif yönde 4 birim, sonra $y$ ekseni boyunca negatif yönde 2 birim öteleniyor. Elde edilen noktanın koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
A) $(6, 1)$
B) $(6, 5)$
C) $(-2, 1)$
D) $(-2, 5)$
E) $(2, 1)$
Çözüm:
$x$ ekseni boyunca pozitif yönde 4 birim öteleme: $x' = x + 4 = 2 + 4 = 6$
$y$ ekseni boyunca negatif yönde 2 birim öteleme: $y' = y - 2 = 3 - 2 = 1$
Dolayısıyla, elde edilen noktanın koordinatları $(6, 1)$'dir. Cevap A.
