Aralarında Asal Sayıların Tanımı
İki veya daha fazla pozitif tam sayının, 1'den başka ortak pozitif böleni yoksa bu sayılara aralarında asal sayılar denir. Başka bir deyişle, bu sayıların en büyük ortak böleni (EBOB) 1'dir.
Örneklerle Açıklama
Aşağıdaki örnekleri inceleyelim:
- 8 ve 15: 8'in bölenleri: 1, 2, 4, 8. 15'in bölenleri: 1, 3, 5, 15. Ortak bölen sadece 1'dir. Bu nedenle 8 ve 15 aralarında asaldır.
- 6 ve 35: 6'nın bölenleri: 1, 2, 3, 6. 35'in bölenleri: 1, 5, 7, 35. Ortak bölen sadece 1'dir. Bu nedenle 6 ve 35 aralarında asaldır.
- 9 ve 21: 9'un bölenleri: 1, 3, 9. 21'in bölenleri: 1, 3, 7, 21. Ortak bölenler 1 ve 3'tür. EBOB(9,21) = 3 ≠ 1 olduğu için 9 ve 21 aralarında asal değildir.
Önemli Noktalar
- Aralarında asal olan sayıların kendileri asal sayı olmak zorunda değildir. Yukarıdaki 8 ve 15 örneğinde olduğu gibi, her ikisi de asal olmayan iki sayı aralarında asal olabilir.
- İki farklı asal sayı (örneğin, 5 ve 11) her zaman aralarında asaldır.
- 1 sayısı, her sayı ile aralarında asaldır. Çünkü 1'in tek böleni 1'dir ve herhangi bir sayı ile ortak böleni sadece 1 olur.
- Ardışık sayılar (örneğin, 12 ve 13) her zaman aralarında asaldır.
Matematiksel Gösterim
Eğer \( a \) ve \( b \) gibi iki sayı aralarında asal ise, bu durum şu şekilde ifade edilir:
\( \text{EBOB}(a, b) = 1 \)
Nerede Kullanılır?
Aralarında asal kavramı, kesirlerin sadeleştirilmesi, sayılar teorisi ve şifreleme (kriptoloji) gibi matematiğin birçok alanında önemli bir rol oynar.
