AYT Matematik: Geometrik Dizi Formülleri ve Uygulamaları

Question

Geometrik dizi formüllerini ezberliyorum ama sorularda nasıl uygulayacağımı bilemiyorum. Hangi formülü ne zaman kullanacağımı karıştırıyorum.

Answer 1

🧮 Geometrik Dizi Nedir?

Geometrik dizi, her terimin bir önceki terimin sabit bir sayıyla çarpılmasıyla elde edildiği bir sayı dizisidir. Bu sabite ortak çarpan denir.

• 🍎 Örnek: 2, 6, 18, 54, ... (Ortak çarpan 3)

📐 Geometrik Dizi Formülleri

➕ Genel Terim Formülü

Bir geometrik dizinin genel terimi (n'inci terimi) aşağıdaki formülle bulunur:

$a_n = a_1 * r^(n-1)$

• 🔑 $a_n$: n'inci terim
• 🔑 $a_1$: İlk terim
• 🔑 $r$: Ortak çarpan
• 🔑 $n$: Terim sayısı

➕ İlk n Terim Toplamı Formülü

Bir geometrik dizinin ilk n teriminin toplamı aşağıdaki formülle bulunur:

$S_n = a_1 * \frac{1 - r^n}{1 - r}$ (r ≠ 1)

• 🔑 $S_n$: İlk n terimin toplamı
• 🔑 $a_1$: İlk terim
• 🔑 $r$: Ortak çarpan
• 🔑 $n$: Terim sayısı

💡 Geometrik Dizi Uygulamaları

➕ Örnek Soru 1

İlk terimi 3 ve ortak çarpanı 2 olan bir geometrik dizinin 5. terimi kaçtır?

Çözüm:

$a_5 = 3 * 2^(5-1) = 3 * 2^4 = 3 * 16 = 48$

Cevap: 48

➕ Örnek Soru 2

2, 6, 18, ... geometrik dizisinin ilk 4 teriminin toplamı kaçtır?

Çözüm:

$a_1 = 2$, $r = 3$, $n = 4$

$S_4 = 2 * \frac{1 - 3^4}{1 - 3} = 2 * \frac{1 - 81}{-2} = 2 * \frac{-80}{-2} = 2 * 40 = 80$

Cevap: 80

➕ Örnek Soru 3

Bir geometrik dizide ikinci terim 12 ve beşinci terim 96'dır. Bu dizinin ilk terimi kaçtır?

Çözüm:

$a_2 = 12$ ve $a_5 = 96$

$a_5 = a_2 * r^3$ (Çünkü 5. terim, 2. terimin $r^3$ ile çarpılmasıyla elde edilir.)

$96 = 12 * r^3$

$r^3 = 8$

$r = 2$

$a_2 = a_1 * r$

$12 = a_1 * 2$

$a_1 = 6$

Cevap: 6