📐 Analitik Geometriye Giriş
Analitik geometri, cebir ve geometriyi bir araya getiren, matematiğin önemli bir dalıdır. Temelinde, geometrik şekilleri koordinat sistemleri üzerinde inceleyerek cebirsel denklemlerle ifade etme fikri yatar. Bu sayede, karmaşık geometrik problemleri cebirsel yöntemlerle çözebiliriz.
📌 Koordinat Sistemi Nedir?
Koordinat sistemi, düzlemdeki veya uzaydaki noktaların yerini belirlemek için kullanılan bir araçtır. En yaygın kullanılanı, iki boyutlu Kartezyen koordinat sistemidir.
- 📍 Eksenler: İki dik eksenden oluşur: yatay eksen (x-ekseni veya apsis) ve dikey eksen (y-ekseni veya ordinat).
- 🔢 Orijin: Eksenlerin kesiştiği noktadır ve (0, 0) koordinatlarına sahiptir.
- ➕ Nokta Gösterimi: Bir nokta, (x, y) şeklinde sıralı bir çift ile temsil edilir. Burada x, noktanın x-eksenindeki izdüşümünü, y ise y-eksenindeki izdüşümünü gösterir.
📏 İki Nokta Arasındaki Uzaklık
İki nokta arasındaki uzaklığı bulmak için Pisagor teoremini kullanırız.
- 📍 Formül: A(x₁, y₁) ve B(x₂, y₂) noktaları arasındaki uzaklık şu şekilde hesaplanır:
$|AB| = \sqrt{(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²}$
➗ Orta Nokta Bulma
Bir doğru parçasının orta noktasının koordinatlarını bulmak da oldukça basittir.
- 📍 Formül: A(x₁, y₁) ve B(x₂, y₂) noktaları arasındaki doğru parçasının orta noktası M(xₘ, yₘ) ise:
$x_m = \frac{x₁ + x₂}{2}$ ve $y_m = \frac{y₁ + y₂}{2}$
📚 Doğru Denklemleri
Doğrular, analitik geometrinin temel yapı taşlarından biridir. Farklı şekillerde ifade edilebilirler.
📝 Eğimi Bilinen ve Bir Noktadan Geçen Doğru Denklemi
- 📐 Formül: Eğimi m olan ve (x₁, y₁) noktasından geçen doğrunun denklemi:
$y - y₁ = m(x - x₁)$
📝 İki Noktası Bilinen Doğru Denklemi
- 📍 Formül: (x₁, y₁) ve (x₂, y₂) noktalarından geçen doğrunun denklemi:
$\frac{y - y₁}{x - x₁} = \frac{y₂ - y₁}{x₂ - x₁}$
📝 Genel Doğru Denklemi
- ✍️ Gösterim: Doğrusal denklemler genellikle Ax + By + C = 0 şeklinde ifade edilir.
- 📉 Eğim Bulma: Bu denklemde eğim, $m = -\frac{A}{B}$ şeklinde bulunur.
❓ Örnek Soru Çözümleri
Şimdi de öğrendiklerimizi pekiştirmek için birkaç örnek soru çözelim.
📌 Soru 1:
A(2, 3) ve B(5, 7) noktaları arasındaki uzaklığı bulunuz.
- Çözüm:
$|AB| = \sqrt{(5 - 2)² + (7 - 3)²} = \sqrt{3² + 4²} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$
📌 Soru 2:
Eğimi 2 olan ve (1, 4) noktasından geçen doğrunun denklemini bulunuz.
- Çözüm:
$y - 4 = 2(x - 1) \Rightarrow y = 2x + 2$
📌 Soru 3:
2x + 3y - 6 = 0 doğrusunun eğimini bulunuz.
- Çözüm:
$m = -\frac{2}{3}$
