🧮 Modüler Aritmetik Nedir?
Modüler aritmetik, sayıların belirli bir sayıya göre
kalanlarını inceleyen bir matematik dalıdır. Günlük hayatta saatleri düşünürken aslında modüler aritmetik kullanırız. Örneğin, saat şu an 10:00 ve 5 saat sonra saat kaç olacak dediğimizde, 15:00 demeyiz, 12'ye göre modunu alarak 3:00 deriz. İşte bu mantık, modüler aritmetiğin temelini oluşturur.
🕰️ Mod Kavramı
Bir sayının başka bir sayıya bölümünden elde edilen
kalan, o sayının o sayıya göre
modudur.
*
🍎 Örneğin, 17'nin 5'e bölümünden kalan 2'dir. O zaman 17'nin 5'e göre modu 2'dir ve bu durumu $17 \equiv 2 \pmod{5}$ şeklinde gösteririz.
*
🍏 Burada "$\equiv$" sembolü "denktir" anlamına gelir.
➕ Modüler Aritmetikte İşlemler
Modüler aritmetikte toplama, çıkarma, çarpma ve bölme işlemleri yapılabilir.
*
➕ Toplama: $(a + b) \pmod{m} \equiv (a \pmod{m} + b \pmod{m}) \pmod{m}$
*
➖ Çıkarma: $(a - b) \pmod{m} \equiv (a \pmod{m} - b \pmod{m}) \pmod{m}$
*
✖️ Çarpma: $(a \cdot b) \pmod{m} \equiv (a \pmod{m} \cdot b \pmod{m}) \pmod{m}$
❓ Örnek Soru ve Çözümü
Soru: $23 + 35 \pmod{7}$ işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm:
*
🍎 Öncelikle 23'ün 7'ye göre modunu bulalım: $23 \equiv 2 \pmod{7}$
*
🍏 Sonra 35'in 7'ye göre modunu bulalım: $35 \equiv 0 \pmod{7}$
*
🍇 Şimdi bu değerleri toplayalım: $(2 + 0) \pmod{7} \equiv 2 \pmod{7}$
Cevap: 2
📝 Modüler Aritmetikte Dikkat Edilmesi Gerekenler
*
💡 Mod alma işlemi her zaman bölme işleminden sonraki kalanı ifade eder.
*
🔑 Modüler aritmetik, özellikle kriptoloji ve bilgisayar bilimlerinde sıklıkla kullanılır.
*
📚 Modüler aritmetikte denklik kavramı, sayıların aynı kalanı vermesi durumunda kullanılır.
✍️ Örnek Soru Çözümleri
Soru 1: $5^{23} \pmod{11}$ işleminin sonucu kaçtır?
Çözüm:
*
🍎 Öncelikle $5$'in kuvvetlerini $11$ modunda inceleyelim:
*
$5^1 \equiv 5 \pmod{11}$
*
$5^2 \equiv 25 \equiv 3 \pmod{11}$
*
$5^3 \equiv 5 \cdot 3 \equiv 15 \equiv 4 \pmod{11}$
*
$5^4 \equiv 5 \cdot 4 \equiv 20 \equiv 9 \pmod{11}$
*
$5^5 \equiv 5 \cdot 9 \equiv 45 \equiv 1 \pmod{11}$
*
🍏 $5^5 \equiv 1 \pmod{11}$ olduğundan, $5^{23}$'ü $5^5$'in kuvvetleri şeklinde yazabiliriz: $5^{23} = (5^5)^4 \cdot 5^3$
*
🍇 Dolayısıyla: $5^{23} \equiv (1)^4 \cdot 5^3 \equiv 1 \cdot 4 \equiv 4 \pmod{11}$
Cevap: 4
Soru 2: $3x \equiv 5 \pmod{7}$ denkliğini sağlayan en küçük pozitif $x$ tamsayısı kaçtır?
Çözüm:
*
🍎 $3x \equiv 5 \pmod{7}$ denkliğini çözmek için, $3$'ün $7$ modundaki tersini bulmalıyız. Yani, $3 \cdot a \equiv 1 \pmod{7}$ olacak şekilde bir $a$ sayısı aramalıyız.
*
🍏 Deneyerek bulalım:
*
$3 \cdot 1 \equiv 3 \pmod{7}$
*
$3 \cdot 2 \equiv 6 \pmod{7}$
*
$3 \cdot 3 \equiv 9 \equiv 2 \pmod{7}$
*
$3 \cdot 4 \equiv 12 \equiv 5 \pmod{7}$
*
$3 \cdot 5 \equiv 15 \equiv 1 \pmod{7}$
*
🍇 Demek ki $3$'ün $7$ modundaki tersi $5$'tir. Şimdi denklemi $5$ ile çarpalım: $5 \cdot 3x \equiv 5 \cdot 5 \pmod{7}$
*
🍋 Bu da $15x \equiv 25 \pmod{7}$ anlamına gelir. Basitleştirirsek: $x \equiv 4 \pmod{7}$
Cevap: 4 (En küçük pozitif tamsayı)
