🎯 Optimizasyon Problemleri Nedir?
Optimizasyon problemleri, bir şeyi en iyi hale getirmeye çalıştığımız problemlerdir. Bu "şey" bazen bir alan, bazen bir maliyet, bazen de başka bir şey olabilir. Matematik kullanarak, bir şeyin en büyüğünü veya en küçüğünü bulmaya çalışırız.
- 💰 En Büyük Kârı Elde Etmek: Bir ürünün fiyatını nasıl belirlemeliyiz ki en çok para kazanalım?
- 📦 En Az Malzeme ile Üretim: Bir kutuyu en az karton kullanarak nasıl yapabiliriz?
- ⏳ En Kısa Sürede Ulaşım: İki şehir arasındaki en kısa yolu nasıl buluruz?
📐 Optimizasyon Problemlerini Çözerken Nelere Dikkat Etmeliyiz?
Optimizasyon problemlerini çözerken dikkat etmemiz gereken bazı önemli adımlar var:
- 📝 Problemi Anlamak: İlk olarak problemi dikkatlice okuyup neyin en büyük veya en küçük olmasını istediğimizi anlamalıyız.
- ✏️ Denklemi Kurmak: Daha sonra problemi matematiksel bir denkleme dökmeliyiz. Bu denklem, en büyük veya en küçük yapmak istediğimiz şeyi ifade etmeli.
- 📈 Türev Almak: Denklemin türevini alarak, eğiminin sıfır olduğu noktaları bulmalıyız. Bu noktalar, en büyük veya en küçük değerlerin olabileceği yerlerdir.
- 🔍 Kontrol Etmek: Bulduğumuz noktaların gerçekten en büyük veya en küçük değerler olup olmadığını kontrol etmeliyiz.
❓ ÖSYM'nin Sorduğu Optimizasyon Problemi Örnekleri
ÖSYM, optimizasyon problemlerini genellikle günlük hayattan örneklerle sorar. İşte birkaç örnek:
🏞️ Örnek 1: Çit Problemi
Bir çiftçi, bir nehrin kenarına dikdörtgen şeklinde bir bahçe yapmak istiyor. Nehir, bahçenin bir kenarını oluşturacak ve çiftçi sadece diğer üç kenarı çitle çevirecek. Elinde 200 metre çit olduğuna göre, bahçenin alanı en fazla kaç metrekare olabilir?
Bu problemi çözerken şu adımları izleyebiliriz:
1.
Denklemleri Kurma:
- 📏 Bahçenin kenar uzunluklarına $x$ ve $y$ diyelim.
- 🚧 Çitin uzunluğu: $2x + y = 200$
- 📐 Alanı maksimize etmek istiyoruz: $A = x \cdot y$
2.
Alan Denklemini Düzenleme:
- 🧩 $y = 200 - 2x$
- 📐 $A = x \cdot (200 - 2x) = 200x - 2x^2$
3.
Türev Alma:
4.
Maksimum Alanı Bulma:
- 📍 $A' = 0 \Rightarrow x = 50$
- 📐 $y = 200 - 2(50) = 100$
- 📏 $A = 50 \cdot 100 = 5000$ metrekare
📦 Örnek 2: Kutu Problemi
Kare şeklindeki bir kartonun köşelerinden eş kareler kesilerek, kalan kısımlar katlanıp üstü açık bir kutu yapılıyor. Kartonun bir kenarı 12 cm olduğuna göre, kutunun hacminin en büyük olması için kesilen karelerin bir kenarı kaç cm olmalıdır?
1.
Denklemleri Kurma:
- 📏 Kesilen karenin kenarına $x$ diyelim.
- 📐 Kutunun taban kenarı: $12 - 2x$
- 📦 Kutunun yüksekliği: $x$
- Volume (Hacim) $V = x(12-2x)^2$
2.
Hacim Denklemini Düzenleme:
- 📐 $V(x) = x(144 - 48x + 4x^2) = 4x^3 - 48x^2 + 144x$
3.
Türev Alma:
- 🧪 $V'(x) = 12x^2 - 96x + 144$
4.
Maksimum Hacmi Bulma:
- 📍 $V'(x) = 0 \Rightarrow 12(x^2 - 8x + 12) = 0$
- 📐 $(x-6)(x-2) = 0$
- 📏 $x = 2$ veya $x = 6$ (6 olamaz, çünkü kenar uzunluğu 12)
- ✅ $x = 2$ cm
Bu örnekler, ÖSYM'nin optimizasyon problemlerini nasıl sorduğuna dair size bir fikir verebilir. Unutmayın, önemli olan problemi anlamak, doğru denklemleri kurmak ve türev alarak en büyük veya en küçük değeri bulmaktır. Başarılar!
