🎨 Süreklilik Nedir?
Süreklilik, bir fonksiyonun grafiğinin kopma, sıçrama veya delik olmadan çizilebilmesi durumudur. Başka bir deyişle, kalemi kaldırmadan çizebildiğimiz fonksiyonlar süreklidir.
- 🍎 Tanım: Bir $f(x)$ fonksiyonunun $x = a$ noktasında sürekli olması için üç şartın sağlanması gerekir:
- 🍎 1. Şart: $f(a)$ tanımlı olmalı. Yani, $x = a$ noktasında fonksiyonun bir değeri olmalı.
- 🍎 2. Şart: $\lim_{x \to a} f(x)$ mevcut olmalı. Yani, fonksiyonun $x = a$ noktasına yaklaşırken bir limiti olmalı.
- 🍎 3. Şart: $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$ olmalı. Yani, fonksiyonun $x = a$ noktasındaki limiti, fonksiyonun o noktadaki değerine eşit olmalı.
📚 Süreksizlik Çeşitleri
Eğer bir fonksiyon bir noktada sürekli değilse, o noktada süreksizdir. Süreksizliklerin farklı türleri vardır:
🎈 Kaldırılabilir Süreksizlik
- 🍎 Fonksiyonun limitinin var olduğu, ancak fonksiyonun o noktadaki değerinin limite eşit olmadığı durumlarda görülür.
- 🍎 Genellikle fonksiyonun pay ve paydasındaki aynı çarpanların sadeleştirilmesiyle giderilebilir.
- 🍎 Örnek: $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ fonksiyonu $x = 2$ noktasında tanımsızdır, ancak $\lim_{x \to 2} f(x) = 4$ olduğundan kaldırılabilir süreksizliği vardır.
🎉 Sıçramalı Süreksizlik
- 🍎 Fonksiyonun sol ve sağ limitlerinin farklı olduğu durumlarda görülür.
- 🍎 Parçalı fonksiyonlarda sıkça karşımıza çıkar.
- 🍎 Örnek:
$f(x) =
\begin{cases}
x + 1, & x < 1 \\
3 - x, & x \geq 1
\end{cases}$
fonksiyonu $x = 1$ noktasında sıçramalı süreksizliğe sahiptir. Çünkü $\lim_{x \to 1^-} f(x) = 2$ ve $\lim_{x \to 1^+} f(x) = 2$
🎊 Sonsuz Süreksizlik
- 🍎 Fonksiyonun limitinin $\infty$ veya $-\infty$ olduğu durumlarda görülür.
- 🍎 Genellikle dikey asimptotlarda ortaya çıkar.
- 🍎 Örnek: $f(x) = \frac{1}{x}$ fonksiyonu $x = 0$ noktasında sonsuz süreksizliğe sahiptir.
📝 Örnek Soru Çözümleri
Şimdi de süreklilik ile ilgili birkaç örnek soru çözelim:
Soru 1: Aşağıdaki fonksiyonun $x = 2$ noktasında sürekli olup olmadığını belirleyiniz.
$f(x) =
\begin{cases}
x^2, & x \leq 2 \\
3x - 2, & x > 2
\end{cases}$
Çözüm:
- 🍎 1. Şart: $f(2) = 2^2 = 4$ (Tanımlı)
- 🍎 2. Şart:
- 🍎 $\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} x^2 = 4$
- 🍎 $\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (3x - 2) = 4$
Limit mevcut ve 4'e eşit.
- 🍎 3. Şart: $\lim_{x \to 2} f(x) = f(2) = 4$ (Eşit)
Fonksiyon $x = 2$ noktasında süreklidir.
Soru 2: $f(x) = \frac{x - 3}{x^2 - 9}$ fonksiyonunun süreksiz olduğu noktaları bulunuz ve süreksizlik türlerini belirleyiniz.
Çözüm:
Fonksiyon, paydanın sıfır olduğu noktalarda süreksizdir. Yani, $x^2 - 9 = 0 \Rightarrow x = 3$ veya $x = -3$ noktalarında süreksizdir.
- 🍎 $x = 3$ için:
$f(x) = \frac{x - 3}{(x - 3)(x + 3)} = \frac{1}{x + 3}$ (sadeleştirme yapıldığında)
$\lim_{x \to 3} f(x) = \frac{1}{6}$. Bu nedenle $x = 3$ noktasında kaldırılabilir süreksizlik vardır.
- 🍎 $x = -3$ için:
$\lim_{x \to -3} f(x)$ mevcut değildir (payda sıfıra yaklaşıyor). Bu nedenle $x = -3$ noktasında sonsuz süreksizlik vardır.
