🧮 Trigonometrik Özdeşlikler: Temel Bilgiler
Trigonometrik özdeşlikler, trigonometrik fonksiyonlar arasındaki ilişkileri ifade eden eşitliklerdir. Bu özdeşlikler, matematik problemlerini çözerken ve trigonometrik ifadeleri basitleştirirken çok işimize yarar. İşte en temel trigonometrik özdeşlikler:
- 📐 Temel Özdeşlikler:
- $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$
- $\tan(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$
- $\cot(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)}$
- ➕ Toplam-Fark Formülleri:
- $\sin(a + b) = \sin(a)\cos(b) + \cos(a)\sin(b)$
- $\sin(a - b) = \sin(a)\cos(b) - \cos(a)\sin(b)$
- $\cos(a + b) = \cos(a)\cos(b) - \sin(a)\sin(b)$
- $\cos(a - b) = \cos(a)\cos(b) + \sin(a)\sin(b)$
- 👯 İki Kat Açı Formülleri:
- $\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$
- $\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) = 2\cos^2(x) - 1 = 1 - 2\sin^2(x)$
❓ Trigonometrik Özdeşlikler Soru Bankası
Şimdi de öğrendiklerimizi pekiştirmek için birkaç soru çözelim!
🤔 Soru 1:
Eğer $\sin(x) = \frac{3}{5}$ ise ve $x$ açısı 2. bölgede ise, $\cos(x)$ değeri kaçtır?
A) $\frac{4}{5}$
B) $-\frac{4}{5}$
C) $\frac{3}{4}$
D) $-\frac{3}{4}$
E) $\frac{5}{4}$
Çözüm:
$\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$ özdeşliğinden, $\cos^2(x) = 1 - \sin^2(x) = 1 - (\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$ olur.
$x$ açısı 2. bölgede olduğundan $\cos(x)$ negatiftir. Bu yüzden $\cos(x) = -\frac{4}{5}$ (Cevap B).
🧐 Soru 2:
$\frac{\sin(2x)}{\sin(x)}$ ifadesinin en sade hali nedir?
A) $2\sin(x)$
B) $2\cos(x)$
C) $\sin(x)\cos(x)$
D) $2$
E) $1$
Çözüm:
$\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$ olduğundan, $\frac{\sin(2x)}{\sin(x)} = \frac{2\sin(x)\cos(x)}{\sin(x)} = 2\cos(x)$ (Cevap B).
🤓 Soru 3:
Aşağıdaki ifadenin eşiti nedir? $\sin(45^\circ + x) + \sin(45^\circ - x)$
A) $\sqrt{2}\sin(x)$
B) $\sqrt{2}\cos(x)$
C) $\sin(x) + \cos(x)$
D) $\sin(2x)$
E) $\cos(2x)$
Çözüm:
Toplam-fark formüllerini kullanalım:
$\sin(45^\circ + x) = \sin(45^\circ)\cos(x) + \cos(45^\circ)\sin(x)$
$\sin(45^\circ - x) = \sin(45^\circ)\cos(x) - \cos(45^\circ)\sin(x)$
Bu iki ifadeyi topladığımızda:
$\sin(45^\circ + x) + \sin(45^\circ - x) = 2\sin(45^\circ)\cos(x)$
$\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ olduğundan,
$2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos(x) = \sqrt{2}\cos(x)$ (Cevap B).
