🧮 Mutlak Değer Nedir?
Mutlak değer, bir sayının sayı doğrusu üzerindeki
sıfıra olan uzaklığıdır. Uzaklık negatif olamayacağından, mutlak değerin sonucu daima
pozitif veya
sıfırdır. Mutlak değer, iki dikey çizgi arasına alınarak gösterilir: $|x|$.
- 📏 Tanım: $|x| = \begin{cases} x, & \text{eğer } x \geq 0 \\ -x, & \text{eğer } x < 0 \end{cases}$
- ➕ Örnek: $|5| = 5$ çünkü 5, sıfıra 5 birim uzaklıktadır.
- ➖ Örnek: $|-3| = 3$ çünkü -3, sıfıra 3 birim uzaklıktadır.
🎯 Mutlak Değerin Özellikleri
Mutlak değerin bazı temel özellikleri şunlardır:
- ✅ Her zaman pozitif veya sıfır: $|a| \geq 0$
- 🔄 Simetri: $|a| = |-a|$
- ➕ Çarpma: $|a \cdot b| = |a| \cdot |b|$
- ➗ Bölme: $|\frac{a}{b}| = \frac{|a|}{|b|}$, burada $b \neq 0$
- ➕ Üçgen Eşitsizliği: $|a + b| \leq |a| + |b|$
✍️ Mutlak Değerli Denklemler
Mutlak değerli denklemleri çözerken, mutlak değer içindeki ifadenin hem pozitif hem de negatif olma durumlarını ayrı ayrı incelemeliyiz.
- 💡 Örnek Denklem: $|x - 2| = 3$
- ➕ Çözüm 1: $x - 2 = 3 \Rightarrow x = 5$
- ➖ Çözüm 2: $x - 2 = -3 \Rightarrow x = -1$
- ✅ Çözüm Kümesi: $\{-1, 5\}$
📝 Örnek Sorular
Şimdi de mutlak değerle ilgili bazı örnek sorulara göz atalım:
🤔 Soru 1:
$|2x - 4| = 6$ denklemini sağlayan $x$ değerlerini bulunuz.
- A) -1 ve 5
- B) 1 ve -5
- C) -2 ve 5
- D) 2 ve -5
Çözüm:
- ➕ $2x - 4 = 6 \Rightarrow 2x = 10 \Rightarrow x = 5$
- ➖ $2x - 4 = -6 \Rightarrow 2x = -2 \Rightarrow x = -1$
- ✅ Cevap: A) -1 ve 5
🤔 Soru 2:
$|x + 3| < 5$ eşitsizliğini sağlayan $x$ tam sayılarının toplamı kaçtır?
Çözüm:
- ➖ $-5 < x + 3 < 5$
- ➖ $-8 < x < 2$
- 🔢 $x$'in alabileceği tam sayı değerleri: -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1
- ➕ Toplam: $-7 - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 + 0 + 1 = -27$
- ✅ Cevap: B) -27
🧪 Test
Aşağıdaki testi çözerek mutlak değer konusunu ne kadar anladığını kontrol edebilirsin:
1. $|x - 1| = 4$ denkleminin çözüm kümesi nedir?
2. $|2x + 3| \leq 7$ eşitsizliğinin çözüm aralığı nedir?
3. $|-5 + |3 - x|| = 2$ denklemini sağlayan $x$ değerleri nelerdir?
