cos(a+b) ve cos(a-b) formülü

Question

Bu iki formülü karıştırmamak için bir türlü kafamda oturtamıyorum. Özellikle cos(a+b)'deki işaretin neden eksi olduğunu anlamakta zorlanıyorum. Formülleri ezberlemek yerine mantığını kavramak istiyorum.

Answer 1

# 📘 Ders Notu: cos(a+b) ve cos(a-b) Formülleri

🎯 Konu: Toplam ve Fark Formülleri (Kosinüs)

Bu ders notunda, trigonometrinin en temel ve kullanışlı formüllerinden olan cos(a+b) ve cos(a-b) formüllerini öğreneceğiz. Bu formüller, açıların toplamı veya farkının kosinüs değerini, tek açıların trigonometrik değerleri cinsinden ifade etmemizi sağlar.

🔍 Formüllerin İfadesi

İki açının toplamının ve farkının kosinüsü için aşağıdaki formüller geçerlidir:

• 🎯 Toplam Formülü: \(\cos(a+b) = \cos a \cdot \cos b - \sin a \cdot \sin b\)
• 🎯 Fark Formülü: \(\cos(a-b) = \cos a \cdot \cos b + \sin a \cdot \sin b\)

İki formül arasındaki tek fark, ortadaki işaretin (− veya +) olmasıdır. Bu, ezberlemeyi kolaylaştırır.

📐 Formüllerin Geometrik İspatı (Özet)

Formüller, birim çember veya koordinat düzleminde iki vektör arasındaki açı kullanılarak ispatlanabilir. Temel mantık:

1. Birim çember üzerinde a ve b açılarına sahip noktalar işaretlenir.
2. Bu noktalar arasındaki uzaklık hem koordinat farkıyla, hem de kosinüs teoremiyle hesaplanır.
3. İki ifade eşitlenerek formül elde edilir.

🧮 Örnek Uygulamalar

Örnek 1: \(\cos(75^\circ)\) değerini bulalım.

Çözüm: \(75^\circ = 45^\circ + 30^\circ\) şeklinde yazabiliriz.

\(\cos(75^\circ) = \cos(45^\circ + 30^\circ) = \cos45^\circ \cdot \cos30^\circ - \sin45^\circ \cdot \sin30^\circ\)

Değerleri yerine koyalım: \(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\)

Örnek 2: \(\cos(15^\circ)\) değerini bulalım.

Çözüm: \(15^\circ = 45^\circ - 30^\circ\)

\(\cos(15^\circ) = \cos(45^\circ - 30^\circ) = \cos45^\circ \cdot \cos30^\circ + \sin45^\circ \cdot \sin30^\circ\)

\(\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\)

💡 Formüllerin Önemi ve Kullanım Alanları

• 📈 Trigonometrik İfadelerin Sadeleştirilmesi: Karmaşık ifadeleri basitleştirmek için kullanılır.
• 📐 İntegral ve Türev Hesaplamaları: Matematiksel analizde sıklıkla karşımıza çıkar.
• 🌐 Fizik ve Mühendislik: Dalga hareketleri, alternatif akım devreleri, mekanik sistemlerin modellenmesi.
• 🧠 Diğer Formüllerin Türetilmesi: \(\sin(a \pm b)\), \(\tan(a \pm b)\) formülleri ve çift açı formülleri buradan türetilebilir.

⚠️ Dikkat Edilmesi Gerekenler

• Formüllerdeki açıların aynı birimde (derece veya radyan) olması gerekir.
• İşaret hatası yapmamaya özen gösterin: Toplam formülünde eksi, fark formülünde artı.
• Formüller sadece kosinüs için geçerlidir. Sinüs ve tanjant için farklı formüller kullanılır.

✅ Özet

\(\cos(a \pm b)\) formülleri, trigonometrideki açılım formüllerinin temel taşıdır. Doğru ezberlenmeli ve işaret kuralı unutulmamalıdır. Pratik yaparak, bu formülleri kullanma becerinizi geliştirebilirsiniz.

Son Not: Bu formüller, \(\sin(a \pm b)\) formüllerinden bağımsız olarak türetilir ve ispatlanır. Bir sonraki derste sinüs için toplam-fark formüllerini inceleyeceğiz.