🎡 Dairesel Permütasyon Nedir?
Dairesel permütasyon, nesnelerin dairesel bir düzen etrafında kaç farklı şekilde sıralanabileceğini hesaplamamıza yarayan bir yöntemdir. Normal permütasyondan farklı olarak, dairesel permütasyonda başlangıç noktası önemli değildir. Yani, aynı sıralamanın döndürülmüş halleri aynı kabul edilir.
🧮 Dairesel Permütasyonun Formülü
$n$ tane farklı nesnenin dairesel permütasyonu $(n-1)!$ şeklinde hesaplanır.
* $n$: Sıralanacak nesne sayısı
* $!$: Faktöriyel (Örneğin, $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$)
🤔 Neden $(n-1)!$ ?
Düz bir sıra düşünelim. $n$ tane nesneyi $n!$ farklı şekilde sıralayabiliriz. Ancak, bir dairede sıraladığımızda, her bir sıralamanın $n$ tane aynı varyasyonu olur (çünkü daireyi döndürebiliriz). Bu yüzden, toplam sıralama sayısını $n$'e bölerek tekrarları ortadan kaldırırız: $\frac{n!}{n} = (n-1)!$
❓ TYT'de Dairesel Permütasyon Soruları Nasıl Çıkar?
TYT'de dairesel permütasyon soruları genellikle aşağıdaki gibi senaryolar içerir:
* Yuvarlak masa etrafında oturan insanlar
* Boncukların bir ipe dizilmesiyle oluşturulan kolyeler
* Anahtarların bir anahtarlığa takılması
Bu tür sorularda dikkat etmeniz gereken en önemli şey, sıralamanın dairesel olduğunun farkında olmak ve formülü doğru uygulamaktır.
💡 Örnek Soru ve Çözümü
6 arkadaş yuvarlak bir masa etrafında kaç farklı şekilde oturabilir?
Çözüm:
Bu bir dairesel permütasyon problemidir. Formülümüz $(n-1)!$ idi. Bu durumda $n = 6$.
$(6-1)! = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$
Yani, 6 arkadaş yuvarlak bir masa etrafında 120 farklı şekilde oturabilir.
🔑 TYT İpuçları
* Soruyu dikkatlice okuyun ve dairesel bir düzenleme olup olmadığını belirleyin.
* Eğer soruda ek kısıtlamalar varsa (örneğin, belirli iki kişinin yan yana oturması gerektiği gibi), bu kısıtlamaları da göz önünde bulundurarak çözüme ulaşın.
* Formülü doğru uyguladığınızdan emin olun. $(n-1)!$ ifadesini unutmayın!
* Faktöriyel hesaplamalarında dikkatli olun. Özellikle büyük sayılarla uğraşırken hata yapma olasılığını azaltmak için adım adım ilerleyin.
📝 Ek Notlar
Bazı sorularda "simetrik" durumlar da olabilir. Örneğin, bir kolyeyi ters çevirdiğimizde aynı görünüyorsa, bulduğumuz sonucu 2'ye bölmemiz gerekebilir. Bu tür detaylara dikkat etmek önemlidir.
🎯 Örnek TYT Tarzı Sorular
Şimdi de TYT sınavında karşılaşabileceğin türden birkaç soruya göz atalım:
1️⃣ Soru 1
5 farklı anahtar, bir anahtarlığa kaç farklı şekilde takılabilir?
Çözüm:
Bu bir dairesel permütasyon sorusudur. Ancak, anahtarlığı ters çevirebileceğimiz için simetri de söz konusudur.
* Dairesel permütasyon formülü: $(n-1)! = (5-1)! = 4! = 24$
* Simetri nedeniyle: $\frac{24}{2} = 12$
Cevap: 12
2️⃣ Soru 2
4 erkek ve 3 kız öğrenci, erkekler yan yana olmak şartıyla yuvarlak bir masa etrafında kaç farklı şekilde oturabilir?
Çözüm:
* Öncelikle 4 erkeği tek bir blok olarak düşünelim. Bu durumda, 1 blok (erkekler) + 3 kız = 4 nesne var.
* Bu 4 nesne dairesel olarak $(4-1)! = 3! = 6$ şekilde sıralanabilir.
* Erkekler kendi aralarında $4! = 24$ şekilde sıralanabilir.
* Toplam sıralama sayısı: $6 \times 24 = 144$
Cevap: 144
