📊 İkinci Dereceden Denklemler ve Diskriminant
İkinci dereceden bir denklem genel olarak \( ax^2 + bx + c = 0 \) şeklinde yazılır. Bu denklemin köklerini (çözümlerini) bulmak için kullandığımız formül şudur:
\[ x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{{2a}} \]
Bu formülde, kökü (karekökü) aldığımız kısma diskriminant denir ve Δ (Delta) sembolü ile gösterilir:
\[ \Delta = b^2 - 4ac \]
🎯 Delta'nın Anlamı Nedir?
Delta'nın değeri, denklemin köklerinin doğası hakkında bize bilgi verir:
- ✅ Δ > 0 (Delta pozitif) ise: Denklemin birbirinden farklı iki gerçek kökü vardır.
- 🔄 Δ = 0 ise: Denklemin çakışık iki gerçek kökü (aynı kök) vardır.
- ❌ Δ < 0 ise: Denklemin gerçek kökü yoktur, karmaşık (reel olmayan) iki kökü vardır.
🚀 Delta > 0 Durumunda Kökler
Eğer \( \Delta > 0 \) ise, karekök içindeki ifade pozitif bir sayı olacağı için, kök formülündeki \( \pm \) işareti iki farklı sonuç verecektir.
Bu durumda denklemin kökleri şu şekilde bulunur:
\[ x_1 = \frac{{-b + \sqrt{\Delta}}}{{2a}} \quad \text{ve} \quad x_2 = \frac{{-b - \sqrt{\Delta}}}{{2a}} \]
Gördüğün gibi, \( \sqrt{\Delta} \) pozitif bir sayı olduğundan, bir kök toplama işlemiyle, diğer kök çıkarma işlemiyle elde edilir ve bu iki kök birbirinden farklıdır.
📝 Örnek Soru Çözümü
Soru: \( x^2 - 5x + 6 = 0 \) denkleminin köklerini bulunuz.
Çözüm:
- 🎯 Denklemi genel forma uyarlayalım: \( a = 1 \), \( b = -5 \), \( c = 6 \)
- 🎯 Delta'yı hesaplayalım:
\[ \Delta = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1 \]
Δ = 1 > 0 olduğu için iki farklı gerçek kök vardır.
- 🎯 Kökleri bulalım:
\[ x_1 = \frac{{-(-5) + \sqrt{1}}}{{2(1)}} = \frac{{5 + 1}}{{2}} = \frac{6}{2} = 3 \]
\[ x_2 = \frac{{-(-5) - \sqrt{1}}}{{2(1)}} = \frac{{5 - 1}}{{2}} = \frac{4}{2} = 2 \]
Cevap: Denklemin kökleri \( x_1 = 3 \) ve \( x_2 = 2 \)'dir.
💡 Özet
- ✅ Δ > 0 ise, ikinci dereceden denklemin birbirinden farklı iki gerçek kökü vardır.
- ✅ Bu kökler, \( x = \frac{{-b \pm \sqrt{\Delta}}}{{2a}} \) formülü ile hesaplanır.
- ✅ Köklerin farklı olmasının nedeni, \( \sqrt{\Delta} \) ifadesinin sıfırdan farklı olmasıdır.
