📝 Bağıntı Nedir? Bir kümeden (A kümesi) başka bir kümeye (B kümesi) tanımlanan ve A x B kartezyen çarpımının bir alt kümesi olan ilişkiye bağıntı denir. Başka bir deyişle, bağıntı, kümeler arasındaki elemanların eşleşme kurallarını ifade eder.
🔢 Kartezyen Çarpım: A ve B gibi iki kümenin tüm olası sıralı ikililerinin (a, b) oluşturduğu kümeye A ve B'nin kartezyen çarpımı denir ve A x B şeklinde gösterilir. Örneğin, A = {1, 2} ve B = {a, b} ise, A x B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b)} olur.
📍 Bağıntı Gösterimi: Bir bağıntı genellikle R ile gösterilir. Eğer (a, b) sıralı ikilisi R bağıntısına aitse, bu durum aRb şeklinde ifade edilir. Yani, "a, b ile R bağıntısı altındadır" anlamına gelir.
📊 En Çok Çıkan Soru Tipleri ve Çözüm Teknikleri
🎯 1. Bağıntı Sayısı Bulma
➕ Soru Tipi: A kümesinden B kümesine tanımlanabilecek bağıntı sayısını bulma.
📐 Çözüm Tekniği: Eğer A kümesinin eleman sayısı m ve B kümesinin eleman sayısı n ise, A'dan B'ye tanımlanabilecek bağıntı sayısı $2^{m \cdot n}$'dir. Bu, A x B kartezyen çarpımının alt küme sayısına eşittir.
💡 Örnek: A = {x, y} ve B = {1, 2, 3} kümeleri veriliyor. A'dan B'ye tanımlanabilecek bağıntı sayısı kaçtır?
Çözüm: A'nın eleman sayısı 2 ve B'nin eleman sayısı 3'tür. Bağıntı sayısı $2^{2 \cdot 3} = 2^6 = 64$'tür.
📈 2. Bağıntının Özellikleri (Yansıma, Simetri, Ters Simetri, Geçişme)
🔄 Yansıma: Bir R bağıntısı, A kümesi üzerinde tanımlı olsun. Eğer her a ∈ A için (a, a) ∈ R ise, R bağıntısı yansıyandır. Yani, kümedeki her eleman kendisiyle ilişkili olmalıdır.
⚖️ Simetri: Eğer (a, b) ∈ R olduğunda (b, a) ∈ R oluyorsa, R bağıntısı simetriktir. Yani, a, b ile ilişkiliyse, b de a ile ilişkili olmalıdır.
➖ Ters Simetri: Eğer (a, b) ∈ R ve (b, a) ∈ R olduğunda a = b ise, R bağıntısı ters simetriktir. Yani, a, b ile ve b de a ile ilişkiliyse, a ve b aynı eleman olmalıdır.
➡️ Geçişme: Eğer (a, b) ∈ R ve (b, c) ∈ R olduğunda (a, c) ∈ R oluyorsa, R bağıntısı geçişkendir. Yani, a, b ile ve b de c ile ilişkiliyse, a da c ile ilişkili olmalıdır.
❓ Soru Tipi: Verilen bir bağıntının hangi özellikleri sağladığını belirleme.
✅ Çözüm Tekniği: Bağıntının tanımını dikkatlice inceleyerek her bir özelliği tek tek kontrol edin. Özellikle, karşıt örnekler bulmaya çalışarak bir özelliğin sağlanmadığını gösterebilirsiniz.
🧩 3. Denklik Bağıntısı ve Denklik Sınıfları
➗ Denklik Bağıntısı: Yansıyan, simetrik ve geçişken olan bir bağıntıya denklik bağıntısı denir. Denklik bağıntıları, kümeleri ayrık denklik sınıflarına ayırır.
📦 Denklik Sınıfı: Bir a elemanının denklik sınıfı, a ile denklik bağıntısı altında olan tüm elemanların kümesidir ve [a] ile gösterilir. Yani, [a] = {x ∈ A | (a, x) ∈ R}.
🔑 Soru Tipi: Verilen bir denklik bağıntısına göre denklik sınıflarını bulma veya denklik sınıflarının özelliklerini kullanma.
💡 Çözüm Tekniği: Öncelikle bağıntının gerçekten bir denklik bağıntısı olduğunu doğrulayın. Daha sonra, her bir elemanın hangi diğer elemanlarla ilişkili olduğunu belirleyerek denklik sınıflarını oluşturun. Denklik sınıflarının ayrık ve birleşimlerinin tüm kümeyi verdiğini unutmayın.
🔗 4. Sıralama Bağıntısı
⧉ Sıralama Bağıntısı: Yansıyan, ters simetrik ve geçişken olan bir bağıntıya sıralama bağıntısı denir. Sıralama bağıntıları, kümelerdeki elemanlar arasında bir sıralama ilişkisi tanımlar.
🪜 Örnek: Doğal sayılar kümesi üzerinde tanımlı olan "≤" (küçük eşittir) bağıntısı bir sıralama bağıntısıdır.
❓ Soru Tipi: Verilen bir bağıntının sıralama bağıntısı olup olmadığını belirleme veya sıralama bağıntısı ile ilgili problemleri çözme.
✅ Çözüm Tekniği: Bağıntının yansıyan, ters simetrik ve geçişken olup olmadığını kontrol edin. Eğer tüm bu özellikler sağlanıyorsa, bağıntı bir sıralama bağıntısıdır. Sıralama bağıntısı ile ilgili sorularda, elemanlar arasındaki sıralama ilişkisini doğru bir şekilde anlamak önemlidir.
