🧮 DGS Kümeler: Temel Kavramlar ve Tanımlar
Kümeler konusu, DGS sınavında karşımıza çıkan temel matematik konularından biridir. Bu konuda başarılı olmak için öncelikle kümelerin ne anlama geldiğini, nasıl gösterildiğini ve temel işlemlerini iyi anlamak gerekir. İşte kümelerle ilgili bilmeniz gerekenler:
- 🍎 Küme Tanımı: Küme, iyi tanımlanmış nesneler topluluğudur. Yani, bir nesnenin kümeye ait olup olmadığı kesin olarak belirlenebilmelidir.
- 🍎 Küme Gösterimi: Kümeler genellikle büyük harflerle (A, B, C gibi) gösterilir. İçindeki elemanlar ise { } parantezi içinde yazılır ve aralarına virgül konur. Örneğin, A = {1, 2, 3}
- 🍎 Eleman Kavramı: Bir nesne kümenin içindeyse, o nesne kümenin elemanıdır denir. "∈" sembolü ile gösterilir. Örneğin, 2 ∈ A (2, A kümesinin elemanıdır).
- 🍎 Boş Küme: Hiçbir elemanı olmayan kümeye boş küme denir ve "∅" veya "{ }" şeklinde gösterilir.
- 🍎 Evrensel Küme: Üzerinde işlem yapılan tüm kümeleri kapsayan en geniş kümeye evrensel küme denir ve genellikle "E" veya "U" ile gösterilir.
➕ Kümelerde Temel İşlemler
Kümelerle ilgili işlemleri anlamak, problem çözerken size büyük kolaylık sağlayacaktır. İşte en sık kullanılan küme işlemleri:
- 🍎 Birleşim Kümesi (∪): İki veya daha fazla kümenin tüm elemanlarını içeren kümeye birleşim kümesi denir. A ∪ B, A ve B kümelerinin birleşimini ifade eder.
- 🍎 Kesişim Kümesi (∩): İki veya daha fazla kümenin ortak elemanlarından oluşan kümeye kesişim kümesi denir. A ∩ B, A ve B kümelerinin kesişimini ifade eder.
- 🍎 Fark Kümesi (–): Bir kümenin diğer kümeden farklı olan elemanlarını içeren kümeye fark kümesi denir. A – B, A kümesinde olup B kümesinde olmayan elemanları ifade eder.
- 🍎 Tümleme: Bir kümenin evrensel küme içindeki tümleyenine o kümenin tümleyeni denir. A', A kümesinin tümleyenini ifade eder. Yani, A' = E – A
🤝 Bağıntılar: Tanım ve Özellikler
Bağıntılar, kümeler arasındaki ilişkileri ifade etmenin bir yoludur. Bir bağıntı, sıralı ikililerden oluşur ve kümeler arasındaki bağlantıyı gösterir.
- 🍎 Bağıntı Tanımı: A ve B iki küme olmak üzere, A x B kartezyen çarpımının her alt kümesine A'dan B'ye bir bağıntı denir. Eğer bağıntı A'dan A'ya ise, bu bağıntıya A üzerinde tanımlı bir bağıntı denir.
- 🍎 Bağıntı Gösterimi: Bağıntılar genellikle β ile gösterilir. Örneğin, β = {(a, b), (c, d)}
- 🍎 Yansıma Özelliği: Bir bağıntı, kümedeki her eleman için (a, a) ∈ β koşulunu sağlıyorsa, yansıyandır.
- 🍎 Simetri Özelliği: Bir bağıntıda (a, b) ∈ β ise (b, a) ∈ β koşulu sağlanıyorsa, simetriktir.
- 🍎 Ters Simetri Özelliği: Bir bağıntıda (a, b) ∈ β ve (b, a) ∈ β ise a = b koşulu sağlanıyorsa, ters simetriktir.
- 🍎 Geçişme Özelliği: Bir bağıntıda (a, b) ∈ β ve (b, c) ∈ β ise (a, c) ∈ β koşulu sağlanıyorsa, geçişkendir.
📝 DGS Kümeler ve Bağıntılar: Çözümlü Sorular
Şimdi de öğrendiklerimizi pekiştirmek için bazı çözümlü sorulara göz atalım:
❓ Soru 1:
A = {1, 2, 3, 4, 5} ve B = {3, 5, 7, 9} kümeleri veriliyor. Buna göre, A ∪ B kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) {3, 5}
B) {1, 2, 4, 7, 9}
C) {1, 2, 3, 4, 5, 7, 9}
D) {1, 2, 3, 4, 5}
E) {7, 9}
Çözüm:
A ∪ B, A ve B kümelerinin tüm elemanlarını içerir. Bu nedenle, A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 9} olur.
Doğru cevap: C
❓ Soru 2:
E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} evrensel kümesi veriliyor. A = {2, 4, 6} kümesi için A' (A'nın tümleyeni) kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) {1, 3, 5, 7}
B) {2, 4, 6}
C) {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
D) { }
E) {1, 3, 5, 7, 8}
Çözüm:
A', A kümesinin E evrensel kümesi içindeki tümleyenidir. Yani, E'de olup A'da olmayan elemanlar. Bu nedenle, A' = {1, 3, 5, 7, 8} olur.
Doğru cevap: E
❓ Soru 3:
A = {a, b, c} kümesi üzerinde tanımlı olan aşağıdaki bağıntılardan hangisi yansıma özelliğine sahiptir?
A) β = {(a, b), (b, c)}
B) β = {(a, a), (b, b)}
C) β = {(a, a), (b, b), (c, c)}
D) β = {(a, a)}
E) β = {(a, b), (b, a)}
Çözüm:
Bir bağıntının yansıma özelliğine sahip olması için, kümedeki her elemanın kendisiyle eşleşmesi gerekir. Yani, (a, a), (b, b) ve (c, c) elemanları bağıntıda bulunmalıdır. Bu koşulu sağlayan seçenek C'dir.
Doğru cevap: C
❓ Soru 4:
$A = \{ x \ | \ x^2 - 5x + 6 = 0 \}$ kümesi veriliyor. $A$ kümesinin elemanları nelerdir?
A) $\{1, 2\}$
B) $\{2, 3\}$
C) $\{1, 3\}$
D) $\{5, 6\}$
E) $\{0, 6\}$
Çözüm:
Denklemi çözelim: $x^2 - 5x + 6 = 0$ ifadesi $(x - 2)(x - 3) = 0$ şeklinde çarpanlarına ayrılabilir. Buradan $x = 2$ veya $x = 3$ bulunur.
Dolayısıyla $A = \{2, 3\}$'tür.
Doğru cevap: B
❓ Soru 5:
Aşağıdaki bağıntılardan hangisi hem simetrik hem de geçişkendir?
A) $\beta = \{(1, 2), (2, 3)\}$
B) $\beta = \{(1, 1), (2, 2), (3, 3)\}$
C) $\beta = \{(1, 2), (2, 1), (1, 3)\}$
D) $\beta = \{(1, 2)\}$
E) $\beta = \{(1, 1), (2, 2), (1, 2), (2, 1)\}$
Çözüm:
* **Simetrik:** $(a, b)$ varsa $(b, a)$ da olmalı.
* **Geçişken:** $(a, b)$ ve $(b, c)$ varsa $(a, c)$ de olmalı.
A seçeneği simetrik değil. B seçeneği hem simetrik hem de geçişken. C seçeneği geçişken değil. D seçeneği simetrik değil. E seçeneği hem simetrik hem de geçişken. Ancak B seçeneği, sadece kendisiyle ilişkili elemanları içerdiği için daha basit bir örnektir. Bu nedenle, doğru cevap B'dir.
Doğru cevap: B
