🔢 Doğal Sayıların Tüm Doğal Sayı Çarpanları Nasıl Bulunur?
Bir doğal sayının çarpanları (ya da bölenleri), o sayıyı kalansız bölen doğal sayılardır. Bu konuyu adım adım öğrenelim!
🎯 Çarpan (Bölen) Nedir?
Bir doğal sayıyı kalansız bölebilen diğer doğal sayılara, o sayının çarpanları denir.
Örneğin: 12 sayısını ele alalım.
- ✅ 12'yi 1'e bölersek: \( 12 ÷ 1 = 12 \) → Kalansız bölünür. 1 ve 12 çarpandır.
- ✅ 12'yi 2'ye bölersek: \( 12 ÷ 2 = 6 \) → Kalansız bölünür. 2 ve 6 çarpandır.
- ✅ 12'yi 3'e bölersek: \( 12 ÷ 3 = 4 \) → Kalansız bölünür. 3 ve 4 çarpandır.
- ❌ 12'yi 5'e bölersek: \( 12 ÷ 5 = 2 \) kalan 2 → Kalansız bölünmez. 5 çarpan değildir.
Sonuç olarak 12'nin çarpanları: 1, 2, 3, 4, 6, 12 şeklindedir.
📝 Çarpan Bulma Yöntemi
Bir doğal sayının tüm çarpanlarını bulmak için sistematik bir yöntem izleyebiliriz:
➡️ 1. Yol: Çiftleri Bularak
- 💡 Sayıyı, 1'den başlayarak kendisine kadar olan doğal sayılara böleriz.
- 💡 Kalansız bölünen her sayı ve bölüm sonucu, sayının bir çarpanıdır.
- 💡 Çarpan listesini, çarpan çiftlerini yazarken küçükten büyüğe doğru sıralarız.
Örnek: 18 sayısının çarpanlarını bulalım.
- \( 18 ÷ 1 = 18 \) → 1 ve 18 çarpandır.
- \( 18 ÷ 2 = 9 \) → 2 ve 9 çarpandır.
- \( 18 ÷ 3 = 6 \) → 3 ve 6 çarpandır.
- \( 18 ÷ 4 = 4 \) kalan 2 → Çarpan değil.
- \( 18 ÷ 5 = 3 \) kalan 3 → Çarpan değil.
- \( 18 ÷ 6 = 3 \) → Zaten listede var. Bu noktada durulabilir.
18'nin çarpanları: 1, 2, 3, 6, 9, 18
➡️ 2. Yol: Asal Çarpanlara Ayırarak
Sayıyı asal çarpanlarının çarpımı şeklinde yazarak, bu asal çarpanlardan tüm kombinasyonları oluşturarak çarpanları bulabiliriz.
Örnek: 24 sayısının çarpanlarını asal çarpanlara ayırarak bulalım.
- 📌 24'ü asal çarpanlarına ayıralım: \( 24 = 2^3 × 3^1 \)
- 📌 Şimdi, bu asal çarpanların üslerini kullanarak tüm çarpanları oluşturalım:
2'nin üsleri: 0, 1, 2, 3 (yani \(2^0, 2^1, 2^2, 2^3\))
3'ün üsleri: 0, 1 (yani \(3^0, 3^1\))
Tüm çarpanlar, bu üslerin kombinasyonlarıyla elde edilir:
- \(2^0 × 3^0 = 1\)
- \(2^1 × 3^0 = 2\)
- \(2^2 × 3^0 = 4\)
- \(2^3 × 3^0 = 8\)
- \(2^0 × 3^1 = 3\)
- \(2^1 × 3^1 = 6\)
- \(2^2 × 3^1 = 12\)
- \(2^3 × 3^1 = 24\)
Küçükten büyüğe sıralarsak: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
⚠️ Dikkat Edilmesi Gerekenler
- 🔎 1 sayısının tek çarpanı 1'dir.
- 🔎 Her doğal sayı, en az iki çarpana sahiptir: 1 ve kendisi. (1 hariç, 1'in sadece bir çarpanı vardır.)
- 🔎 Çarpan bulma işleminde, bölen sayı bölüm sonucuna eşit veya ondan küçük olduğu sürece devam edilir. Bu noktadan sonra yeni çarpan bulunmaz.
🧩 Örneklerle Pekiştirelim
Örnek 1: 16 sayısının çarpanları
- \( 16 ÷ 1 = 16 \) → 1, 16
- \( 16 ÷ 2 = 8 \) → 2, 8
- \( 16 ÷ 4 = 4 \) → 4
16'nın çarpanları: 1, 2, 4, 8, 16 🎯
Örnek 2: 7 sayısının çarpanları
- \( 7 ÷ 1 = 7 \) → 1, 7
- 7, 2'ye, 3'e, 4'e, 5'e, 6'ya kalansız bölünmez.
7'nin çarpanları: 1, 7 🎯 (7 bir asal sayıdır.)
Örnek 3: 30 sayısının çarpanları
- \( 30 ÷ 1 = 30 \) → 1, 30
- \( 30 ÷ 2 = 15 \) → 2, 15
- \( 30 ÷ 3 = 10 \) → 3, 10
- \( 30 ÷ 5 = 6 \) → 5, 6
30'un çarpanları: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 🎯
