dönüşüm (öteleme-dönme) öğretmen notu

Question

Hocam, derste dönüşüm konusunu işledik ama öteleme ve dönmeyi bir arada yapınca kafam karışıyor. Hangi sırayla yapacağımı, önce öteleyip sonra mı döndüreceğim yoksa tam tersi mi, bir türlü oturtamadım. Notlarımda da bu kısım biraz eksik kalmış gibi, yardımcı olur musunuz?

Answer 1

🔄 Dönüşüm (Öteleme-Dönme) Öğretmen Notu

Dönüşüm Geometrisi, şekilleri ve uzayı değiştiren işlemleri inceler. Bu notta, en temel dönüşümlerden olan öteleme ve dönmeyi inceleyeceğiz.

➡️ Öteleme

Öteleme, bir şeklin veya noktanın, yönünü ve boyutunu değiştirmeden, belirli bir doğrultuda ve mesafede kaydırılmasıdır. Başka bir deyişle, şekli bir yerden başka bir yere taşırız.

• 📍 Tanım: Bir nesnenin bir vektör doğrultusunda yer değiştirmesidir.
• 📐 Özellikleri:
  • 📏 Şeklin boyutu değişmez.
  • 🧭 Şeklin yönü değişmez.
  • ↔️ Sadece konumu değişir.
• 📝 Gösterimi: T(x, y) = (x + a, y + b) şeklinde gösterilir. Burada (a, b) öteleme vektörüdür.

Örnek: A(2, 3) noktasını T(3, -1) vektörü ile öteleyelim.

A'(2 + 3, 3 - 1) = A'(5, 2)

💫 Dönme

Dönme, bir şeklin veya noktanın, sabit bir nokta (dönme merkezi) etrafında belirli bir açıyla döndürülmesidir.

• 📍 Tanım: Bir nesnenin sabit bir nokta etrafında belirli bir açı ile döndürülmesidir.
• 📐 Özellikleri:
  • 📏 Şeklin boyutu değişmez.
  • 🧭 Şeklin konumu değişir.
  • 🔄 Dönme yönü saat yönünde veya saat yönünün tersine olabilir.
• 📝 Gösterimi: Dönme merkezi ve dönme açısı ile belirtilir. Genellikle orijin (0, 0) etrafında dönme ele alınır.

Örnek: A(1, 0) noktasını orijin etrafında 90 derece saat yönünün tersine döndürelim.

Dönme matrisi: [ cos(90) -sin(90) ] = [ 0 -1 ] [ sin(90) cos(90) ] [ 1 0 ]

A'(0 * 1 + (-1) * 0, 1 * 1 + 0 * 0) = A'(0, 1)

➕ Öteleme ve Dönmenin Kombinasyonu

Dönüşümler genellikle birlikte kullanılır. Örneğin, bir şekli önce öteleyip sonra döndürebiliriz.

Örnek: A(1, 1) noktasını önce T(2, 3) vektörü ile öteleyelim, sonra orijin etrafında 180 derece döndürelim.

1. Öteleme: A'(1 + 2, 1 + 3) = A'(3, 4)

2. Dönme:

Dönme matrisi: [ cos(180) -sin(180) ] = [ -1 0 ] [ sin(180) cos(180) ] [ 0 -1 ]

A''((-1) * 3 + 0 * 4, 0 * 3 + (-1) * 4) = A''(-3, -4)

Bu not, dönüşüm geometrisinin temel kavramlarını anlamanıza yardımcı olacaktır. Bol pratik yaparak konuyu pekiştirebilirsiniz.