Eğimi ve Bir Noktası Bilinen Doğru Denklemi
📐 Eğimi ve Bir Noktası Bilinen Doğru Denklemi (y-y₁=m(x-x₁))
Analitik geometrinin temel konularından biri olan bu denklem, bir doğrunun matematiksel ifadesini yazmak için kullanılan en pratik yöntemlerden biridir. Bu derste, y - y₁ = m(x - x₁) formülünün mantığını, ispatını ve uygulama adımlarını öğreneceğiz.
🧠 Formülün Anlamı ve Bileşenleri
Formüldeki harflerin anlamlarını tanıyalım:
- m → Doğrunun eğimi (yatay değişime oranla dikey değişim)
- (x₁, y₁) → Doğru üzerinde bilinen herhangi bir noktanın koordinatları
- (x, y) → Doğru üzerindeki değişken noktanın (henüz bilinmeyen) koordinatları
📝 Formülün İspatı ve Mantığı
Eğim, zaten iki nokta arasındaki dikey farkın yatay farka oranı olarak tanımlanır: \( m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \).
Eğer bilinen noktamız (x₁, y₁) ve değişken noktamız (x, y) ise, eğim formülünü şu şekilde yazabiliriz:
\( m = \frac{y - y_1}{x - x_1} \)
İki tarafı da (x - x₁) ile çarptığımızda ise, hedef formülümüzü elde ederiz:
\( y - y_1 = m(x - x_1) \))
🚀 Adım Adım Uygulama
✅ Örnek 1:
Problem: Eğimi 2 olan ve A(1, 3) noktasından geçen doğrunun denklemini yazınız.
- Adım 1: Bilinenleri formülde yerine koy: \( y - 3 = 2(x - 1) \)
- Adım 2: Parantezi dağıt: \( y - 3 = 2x - 2 \)
- Adım 3: y'yi yalnız bırak: \( y = 2x - 2 + 3 \)
- Adım 4: Sadeleştir: \( y = 2x + 1 \)
Çözüm: Doğrunun denklemi \( y = 2x + 1 \) şeklindedir.
✅ Örnek 2:
Problem: Eğimi -1/2 olan ve B(-2, 4) noktasından geçen doğrunun denklemini yazınız.
- Adım 1: Bilinenleri formülde yerine koy: \( y - 4 = -\frac{1}{2}(x - (-2)) \)
- Adım 2: İşaretleri düzenle: \( y - 4 = -\frac{1}{2}(x + 2) \)
- Adım 3: Parantezi dağıt: \( y - 4 = -\frac{1}{2}x - 1 \)
- Adım 4: y'yi yalnız bırak: \( y = -\frac{1}{2}x - 1 + 4 \)
- Adım 5: Sadeleştir: \( y = -\frac{1}{2}x + 3 \)
Çözüm: Doğrunun denklemi \( y = -\frac{1}{2}x + 3 \) şeklindedir.
💡 Önemli Uyarılar ve Püf Noktaları
- ⚠️ Noktanın koordinatlarını (x₁, y₁) formülde yerine koyarken işaretlere çok dikkat edin. Özellikle negatif koordinatlarda parantez içindeki işlemler karıştırılabilir.
- 🎯 Eğer sonuç sizden standart form (ax + by + c = 0) veya eğim-kesim noktası formu (y = mx + n) olarak istenirse, denklemi cebirsel işlemlerle bu formlara dönüştürebilirsiniz.
- 🔍 Bu formül, dikey doğrular için kullanılamaz çünkü dikey doğruların eğimi tanımsızdır (payda sıfır olur).
📚 Konu Özeti
Eğimi ve bir noktası bilinen doğru denklemi, analitik geometride sıkça başvurulan temel bir araçtır. Formülü doğru uygulayabilmek için eğim ve nokta koordinatlarını doğru bir şekilde tespit etmek ve işlem hatası yapmamak yeterlidir. Bu konu, ileride göreceğiniz iki noktası bilinen doğru denklemi ve doğru demetleri gibi konuların da temelini oluşturur.
