Eşkenar üçgende alan formülü, hesaplama

Question

Eşkenar üçgenin alanını hesaplamak için formülü biliyorum ama tam olarak nasıl uygulayacağımı karıştırıyorum. Bir kenar uzunluğu verildiğinde yüksekliği bulmakta zorlanıyorum. Formülde karekök içindeki 3'ün nereden geldiğini de tam anlayamadım.

Answer 1

Eşkenar Üçgenin Alanı

Bir eşkenar üçgen, tüm kenar uzunlukları birbirine eşit olan üçgendir. Bu özel üçgenin alanını hesaplamak için kenar uzunluğunu bilmek yeterlidir.

Eşkenar Üçgen Alan Formülü

Bir kenarının uzunluğu \( a \) olan bir eşkenar üçgenin alan formülü şudur:

\( \text{Alan} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \)

Bu formül, genel üçgen alan formülünden (\( \text{Alan} = \frac{\text{taban} \times \text{yükseklik}}{2} \)) türetilmiştir.

Formülün Türetilmesi

Eşkenar üçgenin tüm kenarları eşit ve tüm açıları 60° olduğu için, bir kenara ait yüksekliği (\( h \)) Pisagor teoremi ile bulabiliriz.

• Yükseklik, üçgeni iki eş dik üçgene ayırır.
• Hipotenüs \( a \), tabanın yarısı \( \frac{a}{2} \) olur.
• Pisagor teoremine göre: \( h^2 + (\frac{a}{2})^2 = a^2 \)
• Bu denklem düzenlenirse: \( h^2 = a^2 - \frac{a^2}{4} = \frac{3a^2}{4} \)
• Yükseklik: \( h = \frac{a\sqrt{3}}{2} \) olur.

Genel alan formülünde yerine koyarsak:

\( \text{Alan} = \frac{1}{2} \times a \times h = \frac{1}{2} \times a \times \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \)

Formülümüzü elde etmiş oluruz.

Örnek Hesaplama

Örnek: Bir kenar uzunluğu 10 cm olan eşkenar üçgenin alanını hesaplayalım.

• \( a = 10 \) cm
• \( \text{Alan} = \frac{10^2\sqrt{3}}{4} \)
• \( \text{Alan} = \frac{100\sqrt{3}}{4} \)
• \( \text{Alan} = 25\sqrt{3} \) cm²

Yaklaşık bir değer bulmak istersek (\( \sqrt{3} \approx 1.732 \)):

\( \text{Alan} \approx 25 \times 1.732 = 43.3 \) cm²

Sonuç: Eşkenar üçgenin alanını bulmak için, kenar uzunluğunun karesi ile \( \sqrt{3} \)'ü çarpıp 4'e bölmek yeterlidir.