Matematikte, özellikle Cebir ve Analiz derslerinin temel taşı olan fonksiyon kavramı, iki küme arasındaki özel bir ilişkiyi tanımlar. Bu ders notunda, fonksiyonun ne olduğunu, temel özelliklerini ve gösterim şekillerini öğreneceğiz.
Fonksiyon, bir kümenin (tanım kümesi) her elemanını, başka bir kümenin (değer kümesi) yalnızca bir elemanıyla eşleyen kuraldır. Bu ilişki "f" gibi bir harfle gösterilir.
Matematiksel olarak ifade edersek: \( f: A \to B \) şeklinde gösterilen bir fonksiyon için, her \( x \in A \) elemanına karşılık tek bir \( f(x) \in B \) elemanı vardır.
Tanım kümesindeki farklı her eleman, değer kümesinde farklı elemanlara gider. Yani, \( f(x_1) = f(x_2) \) ise \( x_1 = x_2 \) olmak zorundadır.
Değer kümesindeki her eleman, tanım kümesindeki en az bir eleman tarafından "görülür". Görüntü kümesi, değer kümesine eşittir.
Hem birebir hem de örten olan fonksiyondur. İki küme arasında tam bir eşleme sağlar.
Bir ilişkinin fonksiyon olabilmesi için tanım kümesindeki her elemanın mutlaka bir görüntüsü olmalı ve yalnızca bir görüntüsü olmalıdır. Aşağıdaki durumlar fonksiyon değildir:
Soru: \( A = \{1, 2, 3\} \) ve \( B = \{a, b, c, d\} \) kümeleri verilsin. \( f = \{(1, a), (2, b), (3, c)\} \) ilişkisi bir fonksiyon mudur?
Çözüm: Evet, bir fonksiyondur. Çünkü A kümesinin (tanım kümesi) her elemanı (1,2,3), B kümesindeki yalnızca bir elemanla eşlenmiştir. Görüntü kümesi \( \{a, b, c\} \), değer kümesi B'nin bir alt kümesidir.
Özet: Fonksiyon, matematiksel modellemenin, analizin ve modern bilimin dilidir. Bir makineden, bir formüle, bilgisayar programlarından günlük hayattaki ilişkilere kadar pek çok yerde karşımıza çıkar.
