# 📘 Geometrik Dizi Genel Terim Formülü: \( a_n = a_1 \cdot r^{\,n-1} \)
🎯 Konuya Giriş
Bu ders notunda, geometrik dizilerin genel terim formülünü detaylı bir şekilde inceleyeceğiz. Formülün mantığını, ispatını, kullanım alanlarını ve örnek soru çözümlerini adım adım öğreneceğiz.
📚 Temel Tanımlar
Geometrik dizi, ardışık terimleri arasındaki oran sabit olan sayı dizisidir. Bu sabit orana ortak çarpan (r) denir.
- ✅ İlk terim: \( a_1 \)
- ✅ Ortak çarpan: \( r \)
- ✅ n. terim: \( a_n \)
🧮 Genel Terim Formülünün İspatı
Geometrik dizinin tanımından yola çıkarak:
- \( a_2 = a_1 \cdot r \)
- \( a_3 = a_2 \cdot r = (a_1 \cdot r) \cdot r = a_1 \cdot r^2 \)
- \( a_4 = a_3 \cdot r = a_1 \cdot r^3 \)
Bu örüntüyü genellersek:
\( a_n = a_1 \cdot r^{\,n-1} \)
🔍 Formül Bileşenlerinin Anlamı
- \( a_1 \): Dizinin başlangıç noktası
- \( r \): Terimlerin büyüme veya küçülme faktörü
- \( n-1 \): İlk terimden n. terime kadar kaç kez \( r \) ile çarpıldığı
📝 Örnek Soru Çözümleri
🎯 Örnek 1: Temel Uygulama
Soru: İlk terimi 5, ortak çarpanı 2 olan geometrik dizinin 6. terimini bulunuz.
Çözüm:
- \( a_1 = 5 \), \( r = 2 \), \( n = 6 \)
- \( a_6 = 5 \cdot 2^{6-1} = 5 \cdot 2^5 = 5 \cdot 32 = 160 \)
🎯 Örnek 2: r < 1 Durumu
Soru: İlk terimi 256, ortak çarpanı \( \frac{1}{2} \) olan dizinin 5. terimi kaçtır?
Çözüm:
- \( a_5 = 256 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{4} = 256 \cdot \frac{1}{16} = 16 \)
⚠️ Önemli Uyarılar ve Pratik İpuçları
- ❌ Formülü uygulamadan önce dizinin gerçekten geometrik olduğundan emin olun
- 📏 \( r > 1 \) ise dizi büyüyor, \( 0 < r < 1 \) ise dizi küçülüyor
- 🔢 \( r \) negatifse terimler işaret değiştirir (salınım yapar)
- 💡 Formülü farklı şekillerde yazabiliriz: \( a_n = a_k \cdot r^{\,n-k} \)
🔗 İlişkili Konular
- 📈 Geometrik dizilerin toplam formülü
- 📊 Geometrik seriler ve yakınsaklık
- 🧮 Sonsuz geometrik seriler
- 📐 Geometrik dizilerin grafiksel gösterimi
✅ Öğrendiklerimizi Kontrol Edelim
Soru: 10. terimi 160, 12. terimi 640 olan geometrik dizinin ortak çarpanı kaçtır?
Çözüm için: \( a_{12} = a_{10} \cdot r^{2} \) formülünü kullanabilirsiniz.
📌 Özet: Geometrik dizilerde n. terimi bulmak için \( a_n = a_1 \cdot r^{\,n-1} \) formülünü kullanırız. Bu formül, üstel büyüme veya azalma gösteren birçok doğal ve sosyal olayı modellemek için temel araçtır.
