gerçek sayıların üslü ve köklü gösterimleri ile yapılan işlemler soru konu anlatımı

Question

Hocam, gerçek sayılarda üslü ve köklü sayılarla işlem yaparken bazen kafam karışıyor. Özellikle farklı üsler ve kök dereceleri olduğunda ne yapacağımı tam kestiremiyorum. Bir de bu işlemleri içeren karmaşık sorularda nereden başlayacağımı bilemiyorum, konu anlatımına ihtiyacım var.

Answer 1

🧮 Gerçek Sayılarda Üslü İfadeler

Gerçek sayılarda üslü ifadeler, bir sayının kendisiyle tekrarlı çarpımını ifade etmenin kısa ve kullanışlı bir yoludur. Bu bölümde, üslü ifadelerin temel kurallarını ve özelliklerini inceleyeceğiz.

➕ Temel Tanımlar

• 🔢 Taban: Üssü alınan sayıya denir. Örneğin, aⁿ ifadesinde 'a' tabandır.
• 📈 Üs (Kuvvet): Tabanın kaç kez kendisiyle çarpılacağını gösteren sayıdır. Örneğin, aⁿ ifadesinde 'n' üsdür.
• 📝 Gösterim: aⁿ, 'a' sayısının 'n'inci kuvveti şeklinde okunur ve a * a * a * ... * a (n tane) anlamına gelir.

🔑 Üslü İfadelerin Özellikleri

• 🥇 a⁰ = 1 (a ≠ 0): Sıfırdan farklı herhangi bir sayının sıfırıncı kuvveti 1'e eşittir.
• ➕ a¹ = a: Herhangi bir sayının birinci kuvveti kendisine eşittir.
• ➖ a^-n = 1 / aⁿ (a ≠ 0): Bir sayının negatif kuvveti, o sayının pozitif kuvvetinin çarpmaya göre tersidir.
• ✖️ a^m * aⁿ = a^m+n: Aynı tabana sahip üslü ifadeler çarpılırken üsler toplanır.
• ➗ a^m / aⁿ = a^m-n (a ≠ 0): Aynı tabana sahip üslü ifadeler bölünürken üsler çıkarılır.
• 💪 (a^m)ⁿ = a^m*n: Bir üslü ifadenin tekrar üssü alınırken üsler çarpılır.
• ✨ (a * b)ⁿ = aⁿ * bⁿ: Bir çarpımın üssü, çarpanların ayrı ayrı üslerinin çarpımına eşittir.
• ➗ (a / b)ⁿ = aⁿ / bⁿ (b ≠ 0): Bir bölümün üssü, pay ve paydanın ayrı ayrı üslerinin bölümüne eşittir.

✍️ Örnek Sorular ve Çözümleri

❓ Soru 1:

2³ * 2² işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:

2³ * 2² = 2³⁺² = 2⁵ = 32

❓ Soru 2:

3⁵ / 3² işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:

3⁵ / 3² = 3^5-2 = 3³ = 27

❓ Soru 3:

(5²)³ işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:

(5²)³ = 5^2*3 = 5⁶ = 15625

➗ Gerçek Sayılarda Köklü İfadeler

Köklü ifadeler, bir sayının belirli bir dereceden kökünü almayı ifade eder. Üslü ifadelerle yakın bir ilişkisi vardır ve matematiksel işlemlerde sıklıkla kullanılır.

🌱 Temel Tanımlar

• ✔️ Kök Derecesi: Kök içindeki sayının hangi dereceden kökünün alındığını gösteren sayıdır. Örneğin, ⁿ√a ifadesinde 'n' kök derecesidir.
• 🌳 Kök İçi: Kökü alınan sayıya denir. Örneğin, ⁿ√a ifadesinde 'a' kök içidir.
• 📝 Gösterim: ⁿ√a, 'a' sayısının 'n'inci dereceden kökü şeklinde okunur. Eğer kök derecesi belirtilmemişse (√a), bu karekök (2. dereceden kök) anlamına gelir.

🔑 Köklü İfadelerin Özellikleri

• ➕ ⁿ√aⁿ = a (n tek ise) veya |a| (n çift ise): Bir sayının n'inci kuvvetinin n'inci dereceden kökü, sayının kendisine (n tek ise) veya mutlak değerine (n çift ise) eşittir.
• ✖️ ⁿ√a * ⁿ√b = ⁿ√(a * b): Aynı dereceden köklü ifadeler çarpılırken kök içindeki sayılar çarpılır.
• ➗ ⁿ√a / ⁿ√b = ⁿ√(a / b) (b ≠ 0): Aynı dereceden köklü ifadeler bölünürken kök içindeki sayılar bölünür.
• 💪 ^m√(ⁿ√a) = ^m*n√a: İç içe kökler çarpılarak tek bir kök elde edilir.
• ✨ a^m/n = ⁿ√a^m: Köklü ifadeler üslü ifade olarak yazılabilir ve tersi de geçerlidir.

✍️ Örnek Sorular ve Çözümleri

❓ Soru 1:

√25 işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:

√25 = 5 (Çünkü 5 * 5 = 25)

❓ Soru 2:

³√8 işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:

³√8 = 2 (Çünkü 2 * 2 * 2 = 8)

❓ Soru 3:

√2 * √8 işleminin sonucu kaçtır?

Çözüm:

√2 * √8 = √(2 * 8) = √16 = 4

🎨 Ek Bilgiler ve İpuçları

• 💡 Köklü ifadelerde payda eşitleme ve sadeleştirme işlemleri önemlidir.
• 🧠 Üslü ve köklü ifadeler arasındaki ilişkiyi anlamak, işlemleri kolaylaştırır.
• 📚 Bol bol pratik yaparak, farklı soru tiplerine aşina olmak başarıyı artırır.