İkinci dereceden denklem kök bulma formülü (-b ± √Δ) / 2a

Question

Bu formülü kullanırken en çok delta (Δ) değerini hesaplarken hata yapıyorum. Özellikle b'nin negatif olduğu durumlarda işlem karışıyor. Bir de kökleri bulduktan sonra sağlamasını yapmayı unutuyorum.

Answer 1

📘 İkinci Dereceden Denklemler ve Kök Bulma Formülü

İkinci dereceden bir denklem, genel olarak şu şekilde yazılır:

ax² + bx + c = 0

Burada:

• 📌 a, b ve c gerçek sayılardır ve a ≠ 0 olmalıdır.
• 📌 x ise bizim bulmak istediğimiz bilinmeyendir.

🎯 Diskriminant (Δ) Nedir?

Kökleri bulmadan önce, denklemin köklerinin doğasını anlamamıza yardımcı olan diskriminant değerini hesaplarız. Diskriminant, Δ (Delta) sembolü ile gösterilir ve formülü şudur:

\( \Delta = b^2 - 4ac \)

Δ'nın değeri bize kökler hakkında bilgi verir:

• ✅ Δ > 0 ise: Denklemin birbirinden farklı iki gerçek kökü vardır.
• ➖ Δ = 0 ise: Denklemin birbirine eşit iki kökü vardır (Çakışık kök).
• ❌ Δ < 0 ise: Denklemin gerçek kökü yoktur, karmaşık sayı kökleri vardır.

🧮 Kök Bulma Formülü

İkinci dereceden bir denklemin köklerini bulmak için kullanılan formül, diskriminant değerinden yararlanır ve şöyledir:

\( x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} \)

Bu formülde ± işareti, iki farklı kök olabileceğini gösterir:

• \( x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} \)
• \( x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} \)

🔍 Örnek Çözüm

Örnek: \( x^2 - 5x + 6 = 0 \) denkleminin köklerini bulalım.

1. Adım: Katsayıları Belirle 🎯
Bu denklemde:

• \( a = 1 \)
• \( b = -5 \)
• \( c = 6 \)

2. Adım: Diskriminantı Hesapla 🧮
\( \Delta = b^2 - 4ac \)
\( \Delta = (-5)^2 - 4(1)(6) \)
\( \Delta = 25 - 24 \)
\( \Delta = 1 \)
Δ > 0 olduğu için iki farklı gerçek kök vardır. ✅

3. Adım: Kökleri Formülde Yerine Koy ➡️
\( x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{1}}{2(1)} \)
\( x = \frac{5 \pm 1}{2} \)

4. Adım: İki Kökü Ayrı Ayrı Hesapla

• \( x_1 = \frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3 \)
• \( x_2 = \frac{5 - 1}{2} = \frac{4}{2} = 2 \)

Sonuç: Denklemin kökleri x = 3 ve x = 2'dir.

💡 Hatırlatmalar

• Formülü kullanmadan önce denklemin standart forma (\( ax² + bx + c = 0 \)) getirildiğinden emin ol.
• Diskriminant (Δ) hesaplamak, köklerin türünü önceden bilmenizi sağlar.
• Paydadaki 2a'yı unutma! Bu, sık yapılan bir hatadır.