Köklü sayılarda toplama ve çıkarma işlemi

Question

Köklü sayılarla toplama ve çıkarma yaparken hangi durumlarda işlem yapabileceğimizi tam anlayamadım. Mesela kök içleri aynı olunca toplayabiliyoruz ama farklı olunca neden yapamıyoruz? Bu kısmı netleştirmek istiyorum.

Answer 1

Köklü Sayılarda Toplama ve Çıkarma İşlemi

Köklü sayılarla toplama ve çıkarma işlemi yapabilmek için temel bir kural vardır: Sadece aynı köklü ifadeler toplanabilir veya çıkarılabilir.

Kökler Ne Zaman Aynı Sayılır?

İki köklü ifadenin aynı kabul edilebilmesi için şu iki koşulun aynı anda sağlanması gerekir:

• Kök dereceleri aynı olmalıdır (örneğin, ikisi de karekök \(\sqrt{}\) veya ikisi de küpkök \(\sqrt[3]{}\) olmalı).
• Kök içindeki sayılar aynı olmalıdır.

Bu durumu, değişkenli ifadelere benzetebiliriz. Nasıl ki \(3x + 5x = 8x\) işleminde \(x\)'ler aynı olduğu için toplama yapabiliyorsak, köklü ifadelerde de kökün kendisi bu değişken gibi düşünülür.

Toplama ve Çıkarma Nasıl Yapılır?

Katsayılar toplanır veya çıkarılır, ortak olan köklü ifade ise aynen yazılır.

Formül:
\( a\sqrt[k]{n} + b\sqrt[k]{n} = (a + b)\sqrt[k]{n} \)
\( a\sqrt[k]{n} - b\sqrt[k]{n} = (a - b)\sqrt[k]{n} \)

Örneklerle Açıklama

Örnek 1: Aynı köklü ifadelerle toplama
\( 5\sqrt{3} + 2\sqrt{3} \)
Burada kök dereceleri (2) ve kök içindeki sayılar (3) aynıdır. Sadece katsayıları toplarız:
\( (5 + 2)\sqrt{3} = 7\sqrt{3} \)

Örnek 2: Aynı köklü ifadelerle çıkarma
\( 8\sqrt{7} - 3\sqrt{7} \)
Kökler aynı olduğu için katsayıları çıkarırız:
\( (8 - 3)\sqrt{7} = 5\sqrt{7} \)

Örnek 3: Farklı köklü ifadelerle işlem (Yapılamaz!)
\( 4\sqrt{5} + 2\sqrt{3} \)
Bu işlemi yapamayız çünkü kök içindeki sayılar farklıdır (5 ve 3). Bu ifade, \(4x + 2y\) gibidir ve daha fazla sadeleştirilemez. Cevap olduğu gibi \( 4\sqrt{5} + 2\sqrt{3} \) kalır.

Örnek 4: Farklı kök dereceleri (Yapılamaz!)
\( 5\sqrt{2} + 3\sqrt[3]{2} \)
Bu işlem de yapılamaz çünkü birinci terim karekök (\(\sqrt{}\)), ikinci terim ise küpkök (\(\sqrt[3]{}\))'tür. Kök dereceleri farklıdır.

Kök İçi Aynı Değilse Ne Yapılır?

Bazen kök içindeki sayılar aynı değildir, ancak kök dışına çıkarak aynı yapılabilirler. Bu durumda önce kökler sadeleştirilir, sonra toplama/çıkarma yapılır.

Örnek 5:
\( \sqrt{12} + \sqrt{3} \)
İlk bakışta kök içleri farklı gibi görünür (12 ve 3). Ancak \(\sqrt{12}\) sadeleştirilebilir:
\( \sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = \sqrt{4} \times \sqrt{3} = 2\sqrt{3} \)
Şimdi yerine yazalım:
\( 2\sqrt{3} + \sqrt{3} = (2 + 1)\sqrt{3} = 3\sqrt{3} \)

Örnek 6:
\( 2\sqrt{18} - \sqrt{8} \)
Önce her terimi sadeleştirelim:
\( 2\sqrt{18} = 2\sqrt{9 \times 2} = 2 \times 3\sqrt{2} = 6\sqrt{2} \)
\( \sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2} \)
Şimdi yerine yazıp çıkarma işlemini yapalım:
\( 6\sqrt{2} - 2\sqrt{2} = (6 - 2)\sqrt{2} = 4\sqrt{2} \)

Özet

• Köklü sayılarda toplama ve çıkarma yapılabilmesi için kök dereceleri ve kök içindeki sayılar aynı olmalıdır.
• İşlem, katsayılar arasında yapılır. Köklü kısım değişmez.
• Eğer kök içleri farklıysa, önce kökler sadeleştirilmeye çalışılır. Sadeleştirme sonucu aynı köklü ifade elde edilirse işlem yapılır.
• Sadeleştirme sonucunda bile köklü ifadeler aynı olmazsa, işlem yapılamaz ve ifade olduğu gibi bırakılır.