Koşullu olasılık nedir (P(A|B))

Question

Koşullu olasılığı anlamakta zorlanıyorum. Bir olayın gerçekleştiği bilindiğinde, diğer bir olayın olasılığının nasıl değiştiğini kavramak istiyorum. Özellikle P(A|B) gösteriminin ne ifade ettiğini basit bir dille öğrenmek istiyorum.

Answer 1

📊 Koşullu Olasılık Nedir?

Koşullu olasılık, bir olayın gerçekleştiği bilindiğinde başka bir olayın gerçekleşme olasılığını ifade eder. Matematiksel olarak P(A|B) şeklinde gösterilir ve "B olayı gerçekleştiğinde A olayının olasılığı" olarak okunur.

🎯 Temel Formül

Koşullu olasılık şu formülle hesaplanır:

\( P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \), \( P(B) > 0 \) olmak şartıyla

💡 Anlamı

• ➡️ P(A|B): B olayının gerçekleştiği bilgisi verildiğinde A'nın olasılığı
• ➡️ P(A∩B): A ve B olaylarının birlikte gerçekleşme olasılığı
• ➡️ P(B): B olayının tek başına olasılığı

📝 Örnek Problem

Bir zar atıldığını ve üst yüze gelen sayının çift olduğu bilindiğini düşünelim. Bu koşulda gelen sayının 4'ten büyük olma olasılığını bulalım.

🧮 Çözüm Adımları:

• ✅ B olayı: Gelen sayının çift olması = {2, 4, 6}
• ✅ A olayı: Gelen sayının 4'ten büyük olması = {5, 6}
• ✅ A∩B: Hem çift hem 4'ten büyük = {6}

Olasılıklar:

• \( P(B) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \)
• \( P(A \cap B) = \frac{1}{6} \)

Koşullu olasılık:

\( P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{3} \)

🔍 Önemli Noktalar

• 📌 Koşullu olasılık, olasılık uzayını B olayına indirger
• 📌 \( P(A|B) \) ile \( P(B|A) \) genellikle farklıdır
• 📌 B olayının olasılığı sıfırdan büyük olmalıdır
• 📌 Bağımsız olaylarda \( P(A|B) = P(A) \) olur

🎲 Günlük Hayattan Örnek

Bir hastanın belirli bir hastalığa sahip olma olasılığı ile, test sonucu pozitif çıktığında bu hastalığa sahip olma olasılığı farklıdır. İşte bu, koşullu olasılığın gerçek hayattaki uygulamasıdır.