Uzayda, sabit bir noktadan eşit uzaklıkta bulunan noktalar kümesine küre denir. Bu sabit nokta kürenin merkezi, merkez ile yüzey üzerindeki herhangi bir nokta arasındaki sabit uzaklık ise kürenin yarıçapı (r)'dır. Küre, mükemmel bir simetriye sahip, günlük hayatta top, gezegen, balon gibi birçok örneğini gördüğümüz 3 boyutlu bir geometrik cisimdir.
Bir kürenin hacmi, yarıçapının uzunluğuna bağlıdır. Formül, antik Yunan'dan bu yana bilinmekte ve integral hesabı ile kolayca ispatlanabilmektedir.
Yarıçapı \( r \) olan bir kürenin hacmi \( V \):
\[ V = \frac{4}{3} \pi r^{3} \]
Kürenin hacmi, döndürme yöntemi kullanılarak bulunabilir. Merkezi orijinde olan bir dairenin denklemi \( x^{2} + y^{2} = r^{2} \)'dir. Bu dairenin üst yarısı (\( y = \sqrt{r^{2} - x^{2}} \)) x-ekseni etrafında \( -r \)'den \( r \)'ye kadar döndürülürse bir küre oluşur.
Döndürülerek oluşan cismin hacim formülü:
\[ V = \pi \int_{-r}^{r} [f(x)]^{2} \,dx \]
Burada \( f(x) = \sqrt{r^{2} - x^{2}} \) olduğundan:
\[ V = \pi \int_{-r}^{r} (r^{2} - x^{2}) \,dx \]
\[ V = \pi \left[ r^{2}x - \frac{x^{3}}{3} \right]_{-r}^{r} \]
\[ V = \pi \left( \left(r^{3} - \frac{r^{3}}{3}\right) - \left(-r^{3} + \frac{r^{3}}{3}\right) \right) \]
\[ V = \pi \left( \frac{2r^{3}}{3} + \frac{2r^{3}}{3} \right) \]
\[ V = \frac{4}{3} \pi r^{3} \] İspat tamamlandı.
Soru: Yarıçapı 5 cm olan bir kürenin hacmi kaç cm³'tür? (π ≈ 3.14 alınız)
Çözüm:
\[ V = \frac{4}{3} \pi r^{3} \]
\[ V = \frac{4}{3} \times 3.14 \times (5)^{3} \]
\[ V = \frac{4}{3} \times 3.14 \times 125 \]
\[ V = \frac{4}{3} \times 392.5 \]
\[ V \approx 523.33 \, \text{cm}^{3} \]
Soru: Çapı 12 m olan bir kürenin hacmi kaç m³'tür?
Çözüm: Öncelikle yarıçapı bulalım: \( r = \frac{Çap}{2} = \frac{12}{2} = 6 \, \text{m} \).
\[ V = \frac{4}{3} \pi (6)^{3} \]
\[ V = \frac{4}{3} \pi \times 216 \]
\[ V = 288 \pi \, \text{m}^{3} \] (Tam değer)
\[ V \approx 904.78 \, \text{m}^{3} \] (π ≈ 3.1416 ile)
Soru: Hacmi \( 288 \pi \, \text{cm}^{3} \) olan bir kürenin yarıçapı kaç cm'dir?
Çözüm:
\[ \frac{4}{3} \pi r^{3} = 288 \pi \]
Her iki tarafı \( \pi \) ile sadeleştir: \( \frac{4}{3} r^{3} = 288 \).
\[ r^{3} = 288 \times \frac{3}{4} \]
\[ r^{3} = 216 \]
\[ r = \sqrt[3]{216} = 6 \, \text{cm} \]
Küre hacim formülü, birçok bilim ve mühendislik alanında kullanılır:
Bu formül, geometrinin en zarif ve temel sonuçlarından biridir. Yarıçapın küpü ile orantılı olması, boyut artışının hacmi nasıl dramatik şekilde etkilediğini gösterir. Örneğin, yarıçapı iki katına çıkan bir kürenin hacmi 8 kat artar!
