Logaritma fonksiyonunun türevi

Question

Logaritma fonksiyonunun türevini alırken nerelerde hata yapıyor olabilirim? Özellikle ln(x) ve log(x) arasındaki fark türevde nasıl etki ediyor, tam olarak anlayamadım. Zincir kuralıyla birleştirince kafam karışıyor.

Answer 1

# 📚 DERS NOTU: Logaritma Fonksiyonunun Türevi

🎯 Konu: Logaritmik Fonksiyonların Türev Kuralları

Bu ders notunda, logaritma fonksiyonlarının türevini nasıl alacağımızı öğreneceğiz. Logaritma, özellikle büyüme ve azalma problemlerinde, ekonomide ve mühendislikte sıkça karşımıza çıkan bir fonksiyondur. Türevini doğru hesaplayabilmek için temel kuralları ve ispat mantığını kavramamız gerekiyor.

🔢 1. Temel Doğal Logaritma (ln x) Türevi

Doğal logaritma fonksiyonu \( f(x) = \ln x \)'in türevi aşağıdaki gibidir:

\[ \frac{d}{dx} (\ln x) = \frac{1}{x} \]

📝 İspat Özeti: Türev tanımından hareketle:

\[ \frac{d}{dx} \ln x = \lim_{h \to 0} \frac{\ln(x+h) - \ln x}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} \ln\left(1 + \frac{h}{x}\right) \]

\( n = \frac{x}{h} \) dönüşümü yapılırsa ve \( \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e \) özdeşliği kullanılırsa sonuç \( \frac{1}{x} \) olarak bulunur.

⚡ 2. Genel Logaritma Türevi (Herhangi bir tabanda)

Tabanı \( a \) olan (\( a > 0, a \neq 1 \)) logaritma fonksiyonunun türevi:

\[ \frac{d}{dx} (\log_a x) = \frac{1}{x \ln a} \]

🧠 Hatırlatma: Taban değiştirme kuralı: \( \log_a x = \frac{\ln x}{\ln a} \)

Bu durumda türev: \( \frac{d}{dx} \left( \frac{\ln x}{\ln a} \right) = \frac{1}{\ln a} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x \ln a} \)

🔁 3. Zincir Kuralı ile Bileşke Fonksiyon Türevi

Eğer logaritmanın içi sadece \( x \) değil de bir fonksiyon ise (\( u(x) > 0 \)):

• ✅ Doğal logaritma için: \( \frac{d}{dx} [\ln u(x)] = \frac{u'(x)}{u(x)} \)
• ✅ Genel logaritma için: \( \frac{d}{dx} [\log_a u(x)] = \frac{u'(x)}{u(x) \ln a} \)

📌 Örnek 1:

\( f(x) = \ln(5x^2 + 3) \) fonksiyonunun türevini bulalım.

Çözüm: \( u(x) = 5x^2 + 3 \) → \( u'(x) = 10x \)

\[ f'(x) = \frac{10x}{5x^2 + 3} \]

📌 Örnek 2:

\( g(x) = \log_2(\sin x) \) fonksiyonunun türevini bulalım.

Çözüm: \( u(x) = \sin x \) → \( u'(x) = \cos x \)

\[ g'(x) = \frac{\cos x}{\sin x \cdot \ln 2} = \frac{\cot x}{\ln 2} \]

🎓 4. Önemli Uygulamalar ve Kurallar

• 🚀 Logaritmik Türev Alma Yöntemi: Çok terimli çarpım/bölüm veya üslü ifadelerin türevini kolaylaştırmak için kullanılır.
  1. Fonksiyonun doğal logaritması alınır: \( \ln y = \ln f(x) \)
  2. Her iki tarafın \( x \)'e göre türevi alınır: \( \frac{y'}{y} = \frac{d}{dx}[\ln f(x)] \)
  3. \( y' \) yalnız bırakılır: \( y' = y \cdot \frac{d}{dx}[\ln f(x)] \)
• ⚠️ Dikkat Edilmesi Gerekenler:
  • Logaritma fonksiyonunun tanım kümesi \( (0, \infty) \) olduğundan, türev de sadece bu aralıkta geçerlidir.
  • Mutlak değerli ifadelerde: \( \frac{d}{dx} \ln |x| = \frac{1}{x} \) (x ≠ 0)

✍️ 5. Alıştırma Soruları

1. \( f(x) = \ln(3x) \) → Türev nedir?
2. \( g(x) = \log_5(x^3 + 2x) \) → Türev nedir?
3. \( h(x) = \ln(\cos x) \) → Türev nedir? (cos x > 0 olduğu aralıkta)
4. \( y = x^x \) fonksiyonunun türevini logaritmik türev yöntemiyle bulunuz.

💡 Sonuç: Logaritma fonksiyonunun türevi, iç fonksiyonun türevinin kendisine bölünmesi şeklindedir. Bu kural, karmaşık görünen birçok fonksiyonun türevini almayı son derece basitleştirir. Özellikle logaritmik türev yöntemi, üstel ve çarpım şeklindeki fonksiyonlarda büyük kolaylık sağlar.