📐 Parabol Tepe Noktası Nedir?
İkinci dereceden bir fonksiyonun grafiği olan parabol, bir tepe noktasına (vertex) sahiptir. Bu nokta, parabolün minimum veya maksimum değerini aldığı yerdir. 🎯
🧮 Tepe Noktası Formülü
İkinci dereceden bir fonksiyon genel olarak şu şekilde yazılır:
f(x) = ax² + bx + c
Bu fonksiyonun tepe noktasının x koordinatı aşağıdaki formülle bulunur:
r = -b / 2a
Bu formül, parabolün simetri ekseninin denklemidir. Tepe noktasının tam koordinatlarını bulmak için, bu r değerini fonksiyonda yerine koyarak y değerini hesaplarız:
f(r) = a(r)² + b(r) + c
Böylece tepe noktası T(r, f(r)) olur.
🔍 Formül Nereden Geliyor?
Bu formül, ikinci dereceden denklemin türevi alınarak veya kareye tamamlama yöntemi kullanılarak elde edilebilir.
- 💡 Türev Yoluyla: f(x) = ax² + bx + c fonksiyonunun türevi f'(x) = 2ax + b'dir. Maksimum/minimum noktalarda türev sıfıra eşit olduğundan, 2ax + b = 0 denklemi çözülürse x = -b/2a bulunur.
- 💡 Kareye Tamamlama Yoluyla: f(x) = a(x - r)² + k şeklinde yazıldığında, tepe noktası T(r, k) olur. Bu forma getirildiğinde r'nin -b/2a'ya eşit olduğu görülür.
📝 Örnek Soru Çözümü
Örnek: f(x) = 2x² - 8x + 5 parabolünün tepe noktasını bulalım.
- ➡️ 1. Adım: Katsayıları belirleyelim. a = 2, b = -8, c = 5
- ➡️ 2. Adım: Tepe noktasının x koordinatını (r) bulalım. r = -b / 2a = -(-8) / (2*2) = 8 / 4 = 2
- ➡️ 3. Adım: Bulduğumuz x değerini fonksiyonda yerine koyarak y koordinatını bulalım. f(2) = 2*(2)² - 8*(2) + 5 = 8 - 16 + 5 = -3
✅ Sonuç olarak, parabolün tepe noktası T(2, -3)'tür.
⚠️ Dikkat Edilmesi Gerekenler
- 📌 Formül sadece a ≠ 0 olduğunda geçerlidir. (a=0 ise fonksiyon ikinci dereceden olmaz)
- 📌 Eğer a > 0 ise parabolün kolları yukarı doğrudur ve tepe noktası bir minimum noktadır.
- 📌 Eğer a < 0 ise parabolün kolları aşağı doğrudur ve tepe noktası bir maksimum noktadır.
