Parabol tepe noktası k = f(r)

Question

Parabolün tepe noktasını bulmayı anlıyorum ama bu noktanın koordinatlarıyla k = f(r) yazımını ilişkilendirmekte zorlanıyorum. r'si x olan, k'si y olan bu noktada denklemi nasıl kurabilirim tam olarak emin olamadım. Tepe noktası formülünden sonra bu adımda takılıyorum.

Answer 1

📈 Parabol Tepe Noktası: k = f(r)

Parabolün tepe noktası, parabolün en yüksek veya en alçak değerini aldığı noktadır. Bu nokta, parabolün simetri ekseni üzerinde bulunur ve koordinatları (r, k) şeklinde gösterilir.

🎯 Tepe Noktası Formülü

İkinci dereceden bir fonksiyonun standart formu şu şekildedir:

\( f(x) = ax^2 + bx + c \)

Bu fonksiyonun tepe noktasının x-koordinatı (r) aşağıdaki formülle bulunur:

\( r = \frac{-b}{2a} \)

Tepe noktasının y-koordinatı (k) ise, x yerine r değeri fonksiyonda yazılarak hesaplanır:

\( k = f(r) \)

Yani, k değeri, r noktasının fonksiyondaki görüntüsüdür.

🧮 Örnek Hesaplama

Örnek: \( f(x) = 2x^2 - 8x + 5 \) fonksiyonunun tepe noktasını bulalım.

• ➡️ 1. Adım: r'yi bulalım. \( a = 2 \), \( b = -8 \)

\( r = \frac{-(-8)}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2 \)

• ➡️ 2. Adım: k'yı bulalım. \( k = f(r) = f(2) \)

\( f(2) = 2 \cdot (2)^2 - 8 \cdot 2 + 5 \)

\( f(2) = 2 \cdot 4 - 16 + 5 \)

\( f(2) = 8 - 16 + 5 = -3 \)

• ✅ Sonuç: Tepe noktası T(r, k) = T(2, -3)'tür.

💡 Hatırlatmalar

• 📌 Eğer \( a > 0 \) ise parabolün kolları yukarı doğrudur ve tepe noktası parabolün minimum noktasıdır.
• 📌 Eğer \( a < 0 \) ise parabolün kolları aşağı doğrudur ve tepe noktası parabolün maksimum noktasıdır.
• 📌 Tepe noktası formülü \( f(x) = a(x - r)^2 + k \) şeklindeki "tepe noktası formunda" doğrudan görülebilir.

🔄 Özet

Bir parabolün tepe noktasını bulmak için:

1. 1️⃣ Tepe noktasının x-koordinatını \( r = \frac{-b}{2a} \) formülü ile hesapla.
2. 2️⃣ Bu x değerini fonksiyonda yerine koyarak y-koordinatını \( k = f(r) \) şeklinde bul.
3. 3️⃣ Tepe noktasını T(r, k) olarak yaz.