Parabol ve Doğru Kesişimi: TYT Matematik Konu Anlatımı

Question

Parabol ve doğru kesişimi konusunu anlamakta zorlanıyorum. Özellikle denklemleri kurarken ve çözüm yaparken kafam karışıyor. Daha basit bir anlatım var mı?

Answer 1

🌈 Parabol ve Doğru Kesişimi Nedir?

Parabol ve doğrunun kesişimi, aslında iki farklı denklemin ortak çözüm noktalarını bulmak demektir. Yani, hem parabolün hem de doğrunun üzerinde bulunan noktaları arıyoruz. Bu noktalar, grafik üzerinde parabol ve doğrunun birbirini kestiği yerlerdir.

🎯 Kesişim Noktalarını Nasıl Buluruz?

Parabolün denklemi genellikle $y = ax^2 + bx + c$ şeklindedir. Doğrunun denklemi ise $y = mx + n$ şeklindedir. Kesişim noktalarını bulmak için şu adımları izleriz:

• ✍️ Adım 1: İki denklemi birbirine eşitleyin.

  Yani, $ax^2 + bx + c = mx + n$ yapın.

• 🧮 Adım 2: Denklemi düzenleyerek ikinci dereceden bir denklem elde edin.

  Örneğin, $ax^2 + (b-m)x + (c-n) = 0$ şeklinde bir denklem elde edebilirsiniz.

• 📐 Adım 3: Bu ikinci dereceden denklemi çözün.

  Denklemi çözmek için çarpanlara ayırma, tam kareye tamamlama veya diskriminant (Δ) yöntemini kullanabilirsiniz.

🔍 Diskriminant (Δ) Nedir ve Ne İşe Yarar?

Diskriminant, ikinci dereceden bir denklemin kökleri hakkında bize bilgi veren bir sayıdır. Denklemin $ax^2 + bx + c = 0$ şeklinde olduğunu varsayarsak, diskriminant şu şekilde hesaplanır:

$\Delta = b^2 - 4ac$

Diskriminantın değerine göre üç farklı durum söz konusudur:

• ✅ Δ > 0: Denklemin iki farklı reel kökü vardır. Bu, parabol ve doğrunun iki farklı noktada kesiştiği anlamına gelir.
• 🤝 Δ = 0: Denklemin birbirine eşit iki reel kökü vardır. Bu, parabol ve doğrunun birbirine teğet olduğu (yani tek bir noktada kesiştiği) anlamına gelir.
• ⛔ Δ < 0: Denklemin reel kökü yoktur. Bu, parabol ve doğrunun birbirini kesmediği anlamına gelir.

📝 Örnek Soru Çözümü

Soru: $y = x^2 - 2x + 1$ parabolü ile $y = x - 1$ doğrusunun kesişim noktalarını bulunuz.

Çözüm:

• 1️⃣ Adım 1: Denklemleri eşitleyelim:

  $x^2 - 2x + 1 = x - 1$
• 2️⃣ Adım 2: Denklemi düzenleyelim:

  $x^2 - 3x + 2 = 0$

• 3️⃣ Adım 3: Denklemi çözelim:

  Bu denklemi çarpanlarına ayırabiliriz: $(x - 1)(x - 2) = 0$

  Buradan $x = 1$ veya $x = 2$ bulunur.

• 4️⃣ Adım 4: Kesişim noktalarını bulalım:
  • 📌 $x = 1$ için: $y = 1 - 1 = 0$. Kesişim noktası (1, 0)'dır.
  • 📍 $x = 2$ için: $y = 2 - 1 = 1$. Kesişim noktası (2, 1)'dir.

Yani, parabol ve doğru (1, 0) ve (2, 1) noktalarında kesişirler.