Parabolün en küçük veya en büyük değeri (k)

Question

Parabolün tepe noktasının ordinatı olan k değerini bulmakta zorlanıyorum. Denklemi standart forma getirip tepe noktasının koordinatlarını bulduğumda, hangi durumlarda en büyük hangi durumlarda en küçük değer olduğunu karıştırıyorum. Kolların yukarı veya aşağı olması durumuna göre bu değerin nasıl değiştiğini anlamak istiyorum.

Answer 1

# Parabolün En Küçük veya En Büyük Değeri (k)

📈 Parabol ve Tepe Noktası

Parabolün en küçük veya en büyük değeri, parabolün tepe noktası olarak adlandırılan noktada bulunur. Bu değer genellikle k harfi ile gösterilir ve parabolün maksimum veya minimum değerini ifade eder.

🔍 Parabol Formülü ve Tepe Noktası

İkinci dereceden bir fonksiyonun genel formu:

f(x) = ax² + bx + c

Bu fonksiyonun tepe noktasının koordinatları:

T(r, k) = ( -b/2a , f(-b/2a) )

Burada k değeri, parabolün en küçük veya en büyük değeridir.

📊 En Küçük veya En Büyük Değerin Belirlenmesi

• 🎯 a > 0 ise: Parabolün kolları yukarı doğru açılır ve tepe noktası minimum noktadır. Bu durumda k değeri parabolün en küçük değeridir.
• 📉 a < 0 ise: Parabolün kolları aşağı doğru açılır ve tepe noktası maksimum noktadır. Bu durumda k değeri parabolün en büyük değeridir.

🧮 Örnek Çözümler

Örnek 1: Minimum Değer Bulma

f(x) = 2x² - 8x + 5 fonksiyonunun en küçük değerini bulalım:

• a = 2 > 0 olduğundan parabolün kolları yukarı doğru, minimum değer vardır
• r = -b/2a = -(-8)/(2·2) = 8/4 = 2
• k = f(2) = 2·(2)² - 8·2 + 5 = 8 - 16 + 5 = -3
• Sonuç: Parabolün en küçük değeri k = -3

Örnek 2: Maksimum Değer Bulma

f(x) = -x² + 4x + 1 fonksiyonunun en büyük değerini bulalım:

• a = -1 < 0 olduğundan parabolün kolları aşağı doğru, maksimum değer vardır
• r = -b/2a = -4/(2·(-1)) = -4/-2 = 2
• k = f(2) = -(2)² + 4·2 + 1 = -4 + 8 + 1 = 5
• Sonuç: Parabolün en büyük değeri k = 5

💡 Pratik Yöntem: Tam Kareye Tamamlama

Parabolün en küçük/en büyük değerini bulmanın bir diğer yolu da fonksiyonu tam kareye tamamlamaktır:

f(x) = a(x - r)² + k formuna getirildiğinde, tepe noktası direkt olarak T(r, k) şeklinde okunabilir.

🎯 Önemli Uygulama Alanları

• 🏗️ Mühendislik problemlerinde maksimum verim/kar hesaplamaları
• 📈 Ekonomide kar maksimizasyonu ve maliyet minimizasyonu
• 🚀 Fizikte atış hareketlerinde maksimum yükseklik hesaplamaları
• 📊 İstatistikte regresyon analizleri

Parabolün en küçük veya en büyük değerini bulmak, matematiksel modelleme ve optimizasyon problemlerinde sıkça kullanılan temel bir beceridir.