Polinom Çeşitleri ile İlgili Çözümlü TYT Soruları

Question

Polinom çeşitlerini biliyorum ama TYT sorularında nasıl kullanacağımı tam olarak kestiremiyorum. Çözümlü sorular üzerinden gitmek istiyorum.

Answer 1

🌈 Polinom Nedir?

Polinomlar, matematik dünyasının renkli ve eğlenceli üyeleridir. Değişkenler, sayılar ve işlemlerin bir araya gelmesiyle oluşurlar. En basit tanımıyla, bir polinom, terimlerin toplamından oluşur. Her terim, bir sayı (katsayı) ve bir değişkenin (genellikle x) üssü ile çarpımından meydana gelir.

• 🍎 Değişken: Genellikle "x" ile gösterilir. Değeri değişebilir.
• 🍎 Katsayı: Değişkenin önündeki sayıdır. Örneğin, 3x² teriminde katsayı 3'tür.
• 🍎 Üs: Değişkenin kuvvetidir. Örneğin, x³ teriminde üs 3'tür.

📚 Polinom Çeşitleri

Polinomlar, içerdikleri terim sayısına ve derecelerine göre farklı çeşitlere ayrılırlar.

🔢 Terim Sayısına Göre Polinomlar

• 🍏 Monom (Tek Terimli): Sadece bir terimden oluşur. Örnek: 5x², 7, -3x gibi.
• 🍏 Binom (İki Terimli): İki terimden oluşur. Örnek: 2x + 3, x² - 1 gibi.
• 🍏 Trinom (Üç Terimli): Üç terimden oluşur. Örnek: x² + 2x + 1, 3x³ - x + 5 gibi.

🎓 Derecesine Göre Polinomlar

Bir polinomun derecesi, içindeki en yüksek üslü terimin üssüdür.

• 🍋 Sabit Polinom: Derecesi 0 olan polinomdur. Örnek: 5, -2, √3 gibi. (x'li terim içermez)
• 🍋 Doğrusal Polinom: Derecesi 1 olan polinomdur. Örnek: 2x + 1, -x + 4 gibi.
• 🍋 Karesel Polinom: Derecesi 2 olan polinomdur. Örnek: x² + 3x - 2, -2x² + 5 gibi.

📝 Çözümlü TYT Soruları

Şimdi de polinomlarla ilgili TYT'de çıkmış veya çıkabilecek tarzda birkaç soru çözelim!

❓ Soru 1:

Aşağıdakilerden hangisi bir polinomdur?

A) $f(x) = x^2 + \frac{1}{x}$

B) $g(x) = \sqrt{x} + 3x$

C) $h(x) = x^3 - 2x + 5$

D) $k(x) = x^{-1} + x$

E) $l(x) = |x| + 2$

Çözüm: Bir ifadenin polinom olabilmesi için değişkenin üssünün negatif veya kesirli olmaması gerekir. Ayrıca mutlak değer de polinom tanımına uymaz. Bu durumda doğru cevap C seçeneğidir, çünkü $h(x) = x^3 - 2x + 5$ ifadesindeki tüm üsler pozitif tam sayıdır.

❓ Soru 2:

$P(x) = (a-2)x^3 + (b+1)x^2 + 3x - 5$ polinomu sabit polinom olduğuna göre, $a + b$ kaçtır?

Çözüm: Bir polinomun sabit polinom olabilmesi için $x$'li terimlerin katsayılarının sıfır olması gerekir. Yani, $a-2 = 0$ ve $b+1 = 0$ olmalıdır. Buradan $a = 2$ ve $b = -1$ bulunur. Dolayısıyla, $a + b = 2 + (-1) = 1$'dir.

❓ Soru 3:

$P(x) = (m-3)x^4 + (n+2)x + k - 1$ polinomunun derecesi 1 olduğuna göre, $m + n + k$ kaçtır?

Çözüm: Polinomun derecesi 1 ise, en yüksek dereceli terim $x$ olmalıdır. Bu durumda $x^4$'lü terimin katsayısı sıfır olmalı, yani $m-3 = 0$ ve dolayısıyla $m = 3$'tür. Ayrıca $x$'in katsayısı sıfırdan farklı olmalı, yani $n+2 \neq 0$ ve $n \neq -2$'dir. Sabit terim de olabilir, bu yüzden $k-1$ herhangi bir sayı olabilir. Ancak soruda $m+n+k$ değeri sorulduğu için $x^4$'lü terimin yok olması ve $x$'li terimin kalması yeterlidir. $n+2$ değeri için bir kısıtlama olmamasına rağmen, derecenin 1 olması için $x^4$'lü terimin yok olması gerektiği için $m=3$ olmalıdır. Eğer $k-1=0$ ise $k=1$ olur. Bu durumda $m + n + k = 3 + n + 1 = 4 + n$ olur. Ancak seçeneklerde sayısal bir değer olması gerektiği için, soruda bir eksiklik olabilir veya $n$'nin belirli bir değeri kastedilmiş olabilir. Eğer $n = 0$ ise, $m + n + k = 3 + 0 + 1 = 4$ olur.